Contents
- 1 Thủ Thuật về Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì Mới Nhất
- 2 1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không khí vecto
- 3 1.1Cơ sở chính tắc
- 4 1.2 Kiểm tra S liệu có phải là cơ sở của không khí vecto V không
- 5 2.Toạ độ không khí vecto
- 6 3.Ma trận chuyển cơ sở S→T
- 7 Bài tập cơ sở không khí vecto
Thủ Thuật về Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì Mới Nhất
Bạn đang tìm kiếm từ khóa Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì được Update vào lúc : 2022-03-10 22:27:18 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để làm rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không khí vecto , nội dung bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số trong những kiến thức và kỹ năng cơ bản cùng với những dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không khí vecto thường gặp trong quy trình học. Chúc những bạn học tập tốt!
Nội dung chính
- 1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không khí vecto1.1Cơ sở chính tắc1.2 Kiểm tra S liệu có phải là cơ sở của không khí vecto V không2.Toạ độ không khí vecto3.Ma trận chuyển cơ sở S→TBài tập cơ sở không khí vecto1.Giải thích tại sao tập sau liệu có phải là cơ sở vecto của không khí tương ứng khôngVideo liên quan
Tóm tắt lý thuyết
1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không khí vecto
S=e1 + e2 ,…,en là cơ sở của không khí V nếu:
- S độc lập tuyến tính ∀ thành phần x đều được màn biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen
Khi đó số chiều không khí V=dim V=n= số thành phần
1.1Cơ sở chính tắc
- R3=a,b,c
- (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) S=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) dim Rn=n có 3 vecto
- P2=a+bx+cx2
- S=1,x,x2 dim Pn=n+1 có 3 vecto
1.2 Kiểm tra S liệu có phải là cơ sở của không khí vecto V không
S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 Đk:
- S độc lập tuyến tính dim V= số thành phần S
a. S=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)⊂R4
S có 3 thành phần mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở
b. S=(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)⊂R3
số thành phần =dim R3 =3
Xét định thức:
=> phụ thuộc tuyến tính
=> S không là sơ sở
c.S=1+x,2-x+3×2,3x-x2⊂P2
Số thành phần=dim P2 =3
Xét định thức:
=> độc lập tuyến tính
=> S là cơ sở
2.Toạ độ không khí vecto
3.Ma trận chuyển cơ sở S→T
Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S
Ví dụ: Trong không khí R3 cho 2 hệ cơ sở
S= u1(1,1,1), u2(1,0,2), u3(1,2,1)
T= v1(2,3,2), v2(-1,1,4), v3(2,1,3)
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T
Giải
Xét ma trận sau:
Giải hệ phương trình
ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1
Tương tự xét ma trận
Vậy ma trận cần tìm là
Bài tập cơ sở không khí vecto
1.Giải thích tại sao tập sau liệu có phải là cơ sở vecto của không khí tương ứng không
a. u1(1,2), u2(3,4), u3(5,6) riêng với R2
-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto
b. u1(1,2,3), u2(3,4,5), u3(4,5,6) riêng với R3
-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto
c. u1(2,1), u2(3,0) riêng với R2
Số thành phần dim R2 =2
Xét ma trận tương hỗ update
det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở
Xem thêm:
Đại số và hình giải tích Bài 1: Số phức – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 2: Ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 3: Định thức ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 4: Ma trận nghịch hòn đảo – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 5: Hạng của ma trận – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 6: Hệ phương trình tuyến tính- bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 7: Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 8: Cơ sở không khí vecto – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 9: Không gian vector con – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 10: Ánh xạ tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 11: Giá trị riêng, vector riêng – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 12: Dạng toàn phương – bài tập và lời giải
Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ
________________________________________________
1. Hệ sinh:
1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không khí vectơ V. Ta gọi tập hợp những tổng hợp tuyến tính của những thành phần của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh.
Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không khí hữu hạn sinh hay là không khí hữu hạn chiều.
Do đó, nếu cho S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:
.
Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu .
1.2 Ví dụ:
1. Nếu thì .
2. Đối với không khí vectơ , hệ vectơ gồm những vectơ là một cơ sở của không khí vectơ .
3. Tập những đơn thức là một hệ sinh của không khí những đa thức K[t].
4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V.
1.3 Nhận xét:
Để chứng tỏ S là một hệ sinh của V ta chứng tỏ mọi tập con hữu hạn là hệ sinh của V. Khi đó, ta hoàn toàn có thể sử dụng một trong những phương pháp sau:
Phương pháp 1:
Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có những số thuộc trường K sao cho
.
Trong không khí vector với điều này tương tự với hệ phương trình:
luôn có nghiệm với trong số đó .
Phương pháp 2:
Nếu biết trước 1 hệ sinh của V thì nên chứng tỏ mỗi vector màn biểu diễn được qua những vector với i = 1, …, m.
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector là hệ sinh của không khí vector .
Giải:
Xét hệ phương trình
Hệ này còn có nghiệm vì hạng của ma trận thông số bằng với hạng của ma trận thông số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là:
1.4 Định lý: E(S) là không khí con của V và là không khí con nhỏ nhất của V chứa tập S.
1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính.
2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ:
2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Nếu tập được sắp thứ tự là cơ sở của V và thì bộ những số được gọi là tọa độ của u theo S nếu .
Ví dụ:
Trong xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau này:
khi đó vector được biểu thị tuyến tính qua những vector như sau:
. Suy ra tọa độ của vector u riêng với cơ sở trên là u = (1, 2, 3, 4).
Mặt khác, trong xét cơ sở gồm những vector sau:
thì khi đó vector được biểu thị tuyến tính qua những vector trên như sau:
. Khi đó, tọa độ của u riêng với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3).
2.2 Định lý: Nếu V là không khí hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.
2.3 Ví dụ:
– Các vectơ lập thành một cơ sở của không khí vectơ . Ta gọi đấy là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của , vậy . Một vectơ có tọa độ với hệ là . Tuy nhiên, tọa độ của x theo hệ lại là
– Các ma trận lập thành một cơ sở của không khí những ma trận M(2;K). Một ma trận sẽ có được tọa độ riêng với hệ cơ sở này là (a, b, c, d).
– Trong không khí vectơ những ma trận , ta hoàn toàn có thể lập một hệ cơ sở gồm có những ma trận trong số đó những thành phần tương ứng ở dòng i và cột j với bằng 1 còn những thành phần còn sót lại của ma trận này đều bằng 0. Khi đó, .
– là tập hợp những đa thức thông số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với những phép toán thông thường là một không khí vectơ. Trong số đó, hệ là một cơ sở của không khí vectơ này. Do đó, .
2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không khí vectơ V. Khi đó, những Đk sau tương tự:
i) S là cơ sở của V;
ii) Mỗi vectơ của V hoàn toàn có thể màn biểu diễn duy nhất qua những vectơ của hệ S;
iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì những Đk trên tương tự với: iv) S là một hệ sinh có đúng n thành phần;
v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n thành phần;
vi) S có đúng n thành phần và ma trận những cột (dòng) là những vectơ tọa độ của những thành phần của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.
2.5 Nhận xét:
Đối với không khí hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng tỏ một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không khí V ta chỉ việc chứng tỏ hệ vector này là độc lập tuyến tính.
2.6 Hệ quả 1:
i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.
ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào thì cũng hoàn toàn có thể tương hỗ update những vectơ để trở thành cơ sở.
2.7 Hệ quả 2:
i) Không gian con của không khí hữu hạn chiều là không khí có số chiều hữu hạn.
ii) Không gian chứa một không khí vô hạn chiều là vô hạn chiều.
2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ trong không khí vectơ V. Số thành phần của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một hằng số (không tùy Theo phong cách chọn hệ con, chỉ tùy từng bản chất của hệ ). Hằng số này được gọi là hạng của hệ vectơ . Ta ký hiệu hạng của hệ là .
2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có những dòng (cột) là những tọa độ của những vectơ khi đó ta có
.
Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta hoàn toàn có thể lập ma trận gồm có những dòng là tọa độ của những vectơ và tìm hạng của ma trận đó.
Ví dụ:
Xét hệ vector . Khi đó,
= 4 với A là ma trận có những dòng là tọa độ của những vector trong cơ sở chính tắc của .
3. Không gian hữu hạn chiều:
3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không khí vectơ n chiều nếu cơ sở của V có n vectơ.
3.2 Tính chất:
Cho V là một không khí hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó:
Mọi hệ vectơ có nhiều hơn nữa n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.
Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V.
Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.
Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều hoàn toàn có thể tương hỗ update thêm n-k vectơ để lập thành một cơ sở của V.
Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng tỏ một hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng tỏ đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.
Bài tập
3.2.trong những trường hợp sau này, xét xem W liệu có phải là không khí con của không khí vectơ R3
a) W =
b)W =
C)w =
Bài giải
Với u = (1,2,3) u W , Ta có -3u = (-3,-6, -9)W( Vì -3≤ 0)
Do đó W không là không khí con của R3
b) ta có 0 = (0,0,0) W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W
với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là x1 + 2×2 = x3
và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là y1 + 2y2 = y3
suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2×2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2)
ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) )
vậy u + v W (1)
mặt khác, ta lại sở hữu
với mọi R u = (x1, x2, x3) = (x1, x2, (x1 + 2×2))
= (x1, x2, x1 + 2×2)
vậy u W (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R
c) ta có 0 = (0,0,0) W suy ra W
với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là u = (0,0,x3)
và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là v = (0,0,y3 )
ta có u + v = (0,0,x3 + y3)
vậy u + v W(1)
mặt khác ta lại sở hữu với mọi R u = (0,0, x3)
vậy u W (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R
3.7trong không khí R4 cho những tập
W1 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 + x2 = x3,x1 – x2 + x3 = 2×4
W2 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = x3
W3 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = 0
a)Chứng minh W1, W2, W3 là những không khí con của R4
b) tìm một cơ sở của W1, W2, W3
bài giải
a)
Xét W1. Ta có 0 =(0,0,0,0) W1 ( vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0)
Suy ra W1
Từ để bài ta hoàn toàn có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2×4 = 0
với mọi u = ( x1,x2,x3,x4) W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2×4 = 0
và v = (y1,y2,y3,y4) W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0
ta có u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)
vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0
và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2×4) + (y1-y2+y3-2y4)
= 0+0 = 0
Do đó u+v W (1)
Mặt khác với mọi R u = (x1, x2, x3, x4)
Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 và
αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2×4) = α.0 = 0
do đó αu W (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra W1≤ R
Xét W2 ta có
Với mọi nghĩa là x1 = x2 =x3 (1)
Và v = nghĩa là y1 =y2 =y3 (2)
Ta có u + v = (x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4)
Từ (1) và (2) ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3
Do đó (3)
Mặt khác với mọi
từ (1) ta có
Do đó (4)
Từ (3) và (4) suy ra W2 ≤R
Xét W3 hay thấy
Với mọi nghĩa là u = (0,0,x3, x4)
Và nghĩa là v = (0,0,y3,y4)
Ta có u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4)
Do đó (1)
Mặt khác với mọi
Do đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra W3 ≤R
b)
Tìm một cơ sở của W1
Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2×4 nên
(x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2,) = (x1,x2x1+x2,x1)
=(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0)
Vậy 2 vecto u = (1,0,1,1) và v = (01,1,0) là tập sinh của W1
Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy u và v là một cơ sở của W1
Tìm một cơ sở của W2
Ta có x1 = x2 = x3 nên
(x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4)
= x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1)
Vậy 2 vectơ u = (1,1,1,0) và v = (0,0,0,1) là tập sinh của W2
Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy B = là một cơ sở của W2
Tìm một cơ sở của W3
Ta có x1 = x2 = 0 nên
(x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4)
= x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1)
Vậy 2 vectơ u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là tập sinh của W3
Xét ma trận A = r(A) = 2 = số dòng của A
Suy ra u và v độc lập tuyến tính
Vậy B = là một cơ sở của W3
3.10
a) chứng tỏ B là cơ sở của R3
Lập A =
Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 = dimR3 nên B là cơ sở của R3
Chứng minh E là cơ sở của R3
Lập A =
Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 = dimR3 Nên E là cơ sở của R3
b)
tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
Lâp ma trận mở rộng
(v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T) → →
Vậy P(B→E) =
Cho u = (1,2,3) tìm
Lập ma trận mở rộng (v1T,v2T,v3T│uT) →
Vậy
Lập ma trân mở rộng (u1T,u2T,u3T│uT) =
Vậy
b)
Tìm P(E→ B)
Ta có P(E → B) = =
Cho tìm v
Ta có suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1)
= (5,5,8)
Tìm
Lập ma trận mở rộng
(u1T,u2T,u3T│vT ) =
Vậy
Tài liệu tìm hiểu thêm
Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh
Bài tâp toán cao cấp – tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Tp Hà Nội Thủ Đô
Chuơng 4: không khí vectơ – ://linearalgebra1.wikispaces/file/view/Chuong+4-Khong+gian+vector.doc
Bài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm Tp HCM
Каталог: file -> downloadfile2 -> 200
200 -> Tin họC Ứng dụng trong cnshmt tiềm năng
downloadfile2 -> Đề tài: Chính Sách ngoại Giao quy trình 1954-1964 Chính sách ngoại giao trong quy trình 1954 1964 Mở bài
downloadfile2 -> Đánh giá tiềm năng thực thi sản xuất sạch hơn tại cơ sở chế biến gỗ Huyện Lê
downloadfile2 -> Tình bạn vĩ đại và xúc động của Các Mác và Ph.Ăng ghen TÌnh bạn vĩ ĐẠi và CẢM ĐỘng của những mác và ph.ĂNg ghen
downloadfile2 -> Gvhd: Ts Huỳnh Trọng Dương
downloadfile2 -> TrưỜng đẠi học nông lâm thành phố
downloadfile2 -> 1. Nguồn gốc hình thành tư tưởng Hồ Chí Minh
downloadfile2 -> Báo cáO ĐỀ TÀi táC ĐỘng của môi trưỜNG
downloadfile2 -> ĐỀ TÀi tiểu luận môn kinh tế tài chính HỌc mac lê nin
200 -> []
tải về 466.5 Kb.
Chia sẻ với bạn bè của bạn:
Review Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì ?
Bạn vừa tìm hiểu thêm tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì tiên tiến và phát triển nhất
Pro đang tìm một số trong những Chia SẻLink Tải Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì miễn phí.
Thảo Luận vướng mắc về Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Cơ sở và số chiều của một không khí vectơ là gì vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha
#Cơ #sở #và #số #chiều #của #một #không #gian #vectơ #là #gì