Contents
Kinh Nghiệm Hướng dẫn Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Mới Nhất
You đang tìm kiếm từ khóa Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức được Cập Nhật vào lúc : 2022-12-23 03:09:15 . Với phương châm chia sẻ Mẹo về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi Read Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha.
Tìm giá trị lớn số 1 giá trị nhỏ nhất biểu thứ chứa 2 biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản khá đầy đủ của tài liệu tại đây (71.83 KB, 4 trang )
Trang 1
VỀ MỘT CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ
Đỗ Bá Chủ – Thái Bình tặng .mathvn
Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn số 1 (GTLN), giá trị
nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong số đó hai biến bị ràng
buộc bởi một Đk cho trước .
Bài toán : Cho những số thực x , y thoả mãn Đk : G(x ; y) = 0 .
Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y).
Phương pháp giải :
Gọi T là tập giá trị của P. Khi đó, m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x;
y):
G(x;y) 0
F(x;y) m
Sau đó tìm những giá trị của tham số m để hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra tập giá trị T của P ,
rồi suy ra GTLN , GTNN (nếu có) của P.
Sau đấy là những bài toán minh hoạ .
Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn Đk :
3 3
3 3 3
x( x 1) y y 1 xy
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
3
3 3
F x y xy
.
Lời giải : Gọi T
1
là tập giá trị của F . Ta có
1
m T
hệ sau có nghiệm:
3 3
3 3 3
3
3 3
x( x 1) y y 1 xy
x y xy m
(I)
Đặt
3
3
3
S x y
P xy
thì
x, y
S,P:
2
S 4P
Hệ (I) trở thành
2 2
S S 3P 0 S 2S 3m 0
(II)
S P m P m S
Ta có :
2
2 2 2
4(S S)
S 4P S S 4S 0 0 S 4
3
Từ đó , hệ (I) có nghiệm
hệ (II) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn
2
S 4P
phương trình
2
S 2S 3m 0
có nghiệm S :
0 S 4
, điều này xẩy ra khi và chỉ khi
S
1
2
1 3m 0
1
m
3
0 S 1 1 3m 4
1 1 3m 5
0 S 1 1 3m 4
0 m 8
. Do đó :
1
T 0;8
Vậy : minF = 0 , maxF = 8.
Bài toán 2 : Cho những số thực x, y thoả mãn :
3
2 2
x – xy + y
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
2 2
G = x + xy – 2y
Lời giải : Gọi T
2
là tập giá trị của G . Ta có
2
m T
hệ sau có nghiệm:
3
2 2
2 2
x – xy + y
x + xy – 2y = m
(III)
Trang 2
Nếu y = 0 thì hệ (III) trở thành
2
2
3x
x m
3
3
x
m
Nếu y
0 thì đặt x = ty ta có hệ :
2
2 2
2
2 2 2
2
3
y
y (t t 1) 3
t t 1
y (t t 2) m 3(t t 2)
m
t t 1
2
2
3
y
t t 1
(m 3)t (m 3)t m 6 0
(IV)
Trường hợp này hệ (III) có nghiệm
hệ (IV) có nghiệm y
0
phương trình
2
(m 3)t (m 3)t m 6 0
(2) có nghiệm :
Nếu m = 3 thì (2) có nghiệm t =
3
2
Nếu m
3 thì (2) có nghiệm
2
t
3m 6m 81 0
1 2 7 m 1 2 7
(m
3 )
Kết hợp những trường hợp trên ta được những giá trị của m để hệ (III) có nghiệm là :
1 2 7 m 1 2 7
. Do đó:
2
T 1 2 7 ; 1 2 7
Vậy : minG =
1 2 7
, maxG =
1 2 7
Bài toán 3 : (Tuyển sinh ĐH khối A năm 2006 )
Cho hai số thực thay đổi x
0 , y
0 thoả mãn :
2 2
(x y)xy x y xy
Tìm giá trị lớn số 1 của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
Lời giải : Gọi T
3
là tập giá trị của A . Ta có
3
m T
hệ sau có nghiệm x
0 , y
0 :
2 2 2 2
2 2
2 2 2
3 3
3 3
(x y)xy x y xy (x y)xy x y xy
(x y)xy x y xy
1 1
(x y)(x y xy) xy(x y)
m
m m
x y
(xy) (xy)
2
2
(x y)xy (x y) 3xy
x y
( ) m
xy
(V)
Đặt
S x y
P xy
(
2
S 4P
) , ta có hệ :
2
2
SP S 3P
S
( ) m
P
(VI)
Hệ (V) có nghiệm x
0 , y
0
hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn
2
S 4P
.
Vì
2 2 2 2
1 3
SP x y xy (x y) y 0
2 4
với mọi x
0 , y
0
S
0
P
với mọi x
0 ,
y
0
Từ đó :
Nếu
m 0
thì hệ (V) vô nghiệm
Nếu m > 0 thì từ phương trình
2
S S
( ) m m
P P
S m.P
thay vào phương
trình
đầu của hệ (VI) được :
2 2
mP mP 3P (m m)P 3
( vì SP > 0 nên P
0 )
Trang 3
Để có P từ phương trình này thì
m m 0 m 1
( m > 0 ) và ta được
3
P
m( m 1)
, do đó
3
S
m 1
. Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P )
thoả
mãn
2
S 4P
khi và chỉ khi :
2
3 12
( )
m 1 m( m 1)
2
4( m 1)
3 3 m 4( m 1) m 4
m( m 1)
0 m 16 (m 1)
Tóm lại những giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x
0 , y
0 là :
0 m 16 ,m 1
Do đó :
3
T 0;16 1
Vậy : maxA = 16 ( để ý quan tâm không tồn tại minA )
Bài toán 4 : ( HSG vương quốc – Bảng A + B năm 2005 )
Cho hai số thực x, y thoả mãn :
x 3 x 1 3 y 2 y
Hãy tìm giá trị lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức
K x y
Lời giải : ĐKXĐ :
x 1, y 2
Gọi T
4
là tập giá trị của K . Ta có
4
m T
hệ sau có nghiệm:
3( x 1 y 2) m
x 3 x 1 3 y 2 y
(VII)
x y m
x y m
Đặt
u x 1
và
v y 2
thì
u,v 0
và hệ (VII) trở thành :
2 2 2
m
u v
3(u v) m
3
u v m 3 1 m
uv ( m 3)
2 9
u , v là hai nghiệm của phương trình :
2
2 2 2
m 1 m
t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0
3 2 9
(3)
Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho
x 1, y 2
khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm
không âm và Đk là :
2
t
t
2
t
9(m 18m 54) 0
m 9 3 21
S 0 m 9 3 15
3 2
m 9m 27
P 0
18
. Do đó
4
9 3 21
T ;9 3 15
2
Vậy : minK =
9 3 21
2
, maxK =
9 3 15
Bình luận: Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN, GTNN về bài toán tìm
tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN,
GTNN . Nếu dùng những bất đẳng thức để xem nhận thì nhất thiết phải chỉ rõ những giá trị của biến
số để tại đó biểu thức đạt GTLN, GTNN. Các bạn hoàn toàn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu
thức có nhiều hơn nữa hai biến số .
Cuối cùng là những bài tập minh hoạ phương pháp trên :
Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
2 2
2( ) 7x y x y
.
Trang 4
Tìm giá trị lớn số 1 , nhỏ nhất của biểu thức
3
3
P x(x 2) y(y 2)
Bài 2 : Cho những số thực x, y thoả mãn :
2 2
4x – 3xy + 3y = 6
.
Tìm giá trị lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức
2 2
F x xy 2y
Bài 3 : Cho những số thực không âm x , y thoả mãn :
x y 4
.
Tìm giá trị lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức
1 9Q x y
Bµi 4 : Cho những số dương x , y thoả mãn :
xy x y 3
Tìm GTLN của biểu thức
2 2
3x 3y
G x y
y 1 x 1
Bµi 5 : (Cao đẳng kinh tế tài chính kỹ thuật năm 2008) .Cho hai số x , y thoả m ãn :
2 2
x y 2
Tìm GTLN , GTNN c ủa biểu thức
3 3
P 2(x y ) 3xy
Bài 6 : (Đại học Khối B năm 2008). Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ
thức:
2 2
x y 1
Tìm GTLN , GTNN c ủa biểu thức
2
2
2(x 6xy)
P
1 2xy 2y
…………………………..H ết……………………….
Review Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Bạn vừa đọc Post Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tiên tiến và phát triển nhất
Bạn đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Down Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức miễn phí.
Hỏi đáp vướng mắc về Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Bài giảng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha
#Bài #giảng #tìm #giá #trị #nhỏ #nhất #của #biểu #thức