Kinh Nghiệm Hướng dẫn Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học Chi Tiết

You đang tìm kiếm từ khóa Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học được Cập Nhật vào lúc : 2022-08-04 16:40:25 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.

BÀI 3ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM 1 BIẾNTRONG KINH TẾTS. Vương Thị Thảo BìnhV1.00181122051Tình huống dẫn nhậpMột hãng sản xuất, marketing thương mại một món đồ có hàmchi phí biên:TC[Q]  12Q  Q.  0,1Q  1023trong đó Q. là sản lượng.Xác định Q. sao cho ngân sách trung bình của hãng sản xuất lànhỏ nhất;Tìm lượng cung sao cho lợi nhuận cực lớn nếu giáhàng hóa là p. = 50.V1.00181122052MỤC TIÊU BÀI HỌC• Nắm được một số trong những hàm 1 biến trong kinh tế tài chính thông dụng.• Nắm được cách tìm cực trị hàm 1 biến và Áp dụng được vào bài tập.V1.00181122053CẤU TRÚC NỘI DUNGV1.00181122053.1Khái niệm hàm 1 biến trong kinh tế3.2Giới thiệu một số trong những hàm số 1 biến trong kinh tế3.3Cực trị của hàm 1 biến43.1. GIỚI THIỆU HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾV1.00181122053.1.1Biến, hằng số và tham số3.1.2Các loại phương trình53.1.1. BIẾN, HẰNG SỐ VÀ THAM SỐ••••••P: giá cả [price],: lợi nhuận [profit],R: lệch giá [revenue],C: ngân sách [cost],Y: thu nhập [income],…V1.001811220563.1.2. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH• Phương trình định nghĩa [definition equation]: là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở cả hai vế củanó có cùng một ý nghĩa.Ví dụ 1. Lợi nhuận được định nghĩa thông qua phương trình định nghĩa sau: 𝜋 = R – C, tức là lợi nhuận thuđược đó đó là phần dôi ra của lệch giá sau khi đã trừ đi ngân sách.• Phương trình hành vi [behavioral equation]: Phương trình hành vi phản ánh phương pháp một biến thay đổiphụ thuộc vào sự thay đổi giá trị của những biến khác.Ví dụ 2. Chi phí C = 75 + 10QChi phí C = 110 + Q2• Phương trình cân đối [equilibrium equation]: mô tả Đk cân bằngVí dụ 3. Qd=Qs : Lượng cầu phải bằng lượng cungS = I : Tổng tiết kiệm chi phí phải bằng tổng đầu tưV1.001811220573.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG KINH TẾV1.00181122053.2.1Hàm cung và hàm cầu3.2.2Hàm lệch giá, hàm ngân sách và hàm lợi nhuận3.2.3Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm83.2.1. HÀM CUNG VÀ HÀM CẦU• Hàm cung: Qs = S[p]• Hàm cầu: Qd = D[p]Khi xét xem những quy mô hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên, người ta giả thiết rằng những yếu tố khác khôngthay đổi. Quy luật của thị trường trong kinh tế tài chính học nói rằng, đối với những thành phầm & hàng hóa thông thường, hàm cung làhàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm. Điều này nghĩa là: với những yếu tố khác không thay đổi, khigiá thành phầm & hàng hóa tăng thêm thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn nữa và người tiêu dùng sẽ mua ít đi.V1.001811220593.2.2. HÀM DOANH THU, HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM LỢI NHUẬN•••••Hàm lệch giá: TR = TR[Q]Hàm ngân sách: TC = TC[Q]Chi phí cố định và thắt chặt [FC]: FC = TC[Q=0]Hàm ngân sách biến hóa [VC]: VC = TC – FCHàm lợi nhuận: [Q] = TR[Q] – TC[Q]V1.0018112205103.2.3. HÀM TIÊU DÙNG VÀ HÀM TIẾT KIỆM• Hàm tiêu dùng để màn biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C [consumption] vào biến thu nhậpY [Income]:C = C[Y]Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn nữa, do đó hàm tiêu dùng làhàm đồng biến.• Hàm tiết kiệm chi phí là hàm số màn biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm chi phí S và biến thu nhập Y:S = S[Y]V1.0018112205113.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾNCho hàm số y = f[x]f[x] f[x0] thì x0 là yếu tố cực tiểuBài toán: Cho hàm số y = f[x] xác lập, liên tục có đạo hàm trong mức chừng [a, b]. Tìm điểm cực trị của f[x].Điều kiện cần: f'[x] = 0  x = x0 điểm dừng.Điều kiện đủ:• Cách 1: Xét sự biến thiên dấu của f'[x].• Cách 2: Tại x0, ta có:f”[x0] 0 thì x0 là yếu tố cực tiểu.V1.0018112205123.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 1: Chọn mức sản lượng tối ưuGiả sử doanh nghiệp có hàm tổng ngân sách TC[Q] và hàm tổng lệch giá TR[Q]. Hãy chọn mức sản lượng Q0để thu lợi nhuận tối đa.GiảiHàm tổng lợi nhuận của doanh nghiệp: = TR[Q] – TC[Q]Điều kiện cần: ‘  TR ‘[Q]  TC ‘[Q]  0 TR ‘[Q]  TC ‘[Q]  MR  MCĐiều kiện đủ: ”  TR ”[Q]  TC ”[Q]  0 TR ”[Q ]  TC ”[Q ] V1.0018112205MR ‘[Q ]  MC ‘[Q ]133.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 2: Chọn sử dụng yếu tố nguồn vào tối ưu để sở hữu lợi nhuận cao nhấtCho một doanh nghiệp đối đầu đối đầu tiến hành sản xuất với hàm sản xuất thời hạn ngắn Q. = f[L], trong Đk giásản phẩm trên thị trường là p. và giá lao động [tiền công] là w. Hãy tìm mức sử dụng lao động để đạt lợi nhuậntối đa?Giải:Hàm tổng lợi nhuận:   pf [ L ]  wL  C 0 [C0 là chi phí cố định]Điều kiện cần:  ‘  pf ‘[ L ]  w  C0  p.  MPPL  w[Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là giá trị bằng tiềncủa sản phẩm hiện vật cận biên của lao động bằng giá lao động].Điều kiện đủ:V1.0018112205 ”  pf ”[ L ]  0  f ”[ L ]  000143.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Bài toán 3: Cực trị của hàm hàm bình quânCho hàm số y = f[x] với x, y là những biến số kinh tế tài chính.y[ x  0] được gọi là hàm trung bình.xyy’yy’x  yx  My  Ay [ x  0]Ta có: Ay’    xxxxHàm số Ay ’2Giả sử x0 là yếu tố thỏa mãn nhu cầu My = Ay, tức là Ay’ = 0. Khi đó ta có nhận xét:• Hàm trung bình tăng khi My > Ay [Tức là đường cận biên nằm trên đường bình quân].• Hàm trung bình giảm khi My < Ay [Tức là đường cận biên nằm dưới đường bình quân].• Hàm trung bình đạt cực trị khi My = Ay [đường cận biên giao nhau với đường bình quân].V1.0018112205153.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN [tiếp theo]Ví dụMột doanh nghiệp có hàm ngân sách TC[Q] = 0,3Q3 – 3Q2 + 19Q + 30, với Q. là sản lượng.Hãy xác lập hàm ngân sách biến hóa trung bình AVC[Q] và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này.Giải:FC = TC[0] = 30VC 0, 3Q  3Q  19QHàm ngân sách biến hóa trung bình là: AVC  0, 3Q  3Q  19QQ322Điều kiện cần:Điều kiện đủ:AVC '  0, 6Q  3  AVC '  0  0, 6Q  3  0  Q.  5AVC "  0, 6  0Vậy Q. = 5 thì ngân sách biến hóa trung bình đạt cực tiểu, và Qmin = 11,5.V1.001811220516Giải quyết trường hợp dẫn nhậpC[Q] 12Q  Q.  0,1QAC  0,1Q  Q.  12QQ2• Chi phí trung bình của hãng sản xuất là:32• Điều kiện cần: AC '  0, 2Q  1AC '  0  0, 2Q  1  0  Q.  5• Điều kiện đủ:AC "  0, 2  0• Vậy với Q. = 5 thì ngân sách trung bình của hãng sản xuất là nhỏ nhất.V1.001811220517Giải quyết trường hợp dẫn nhập• Hàm lợi nhuận:   TR  TC  pQ  12Q  Q. 2  0,1Q 3   50Q  12Q  Q. 2  0,1Q 3   0,1Q  Q.  38Q3• Điều kiện cần:2 '  0, 3Q  2Q  38262 10 1 5  15, 07 '  0  0, 3Q  2Q  38  0  Q.  32• Điều kiện đủ:  "  0, 6Q  2   " 15, 07   0, 6  15, 07  2  7, 042  0• Vậy với Q. = 15,07 thì lợi nhuận đạt cực lớn.V1.001811220518TỔNG KẾT BÀI HỌC• Giới thiệu một số trong những biến trong kinh tế tài chính• Một số hàm số 1 biến trong kinh tế tài chính• Cực trị của hàm 1 biếnV1.001811220519

Nội dung chính

    5. Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thứcVideo liên quanVideo liên quan

5. Cực trị ràng buộc của hàm số thực theo hai biến số thức

Xét bài toán tìm cực trị hàm [f[x,y]] với ràng buộc [g[x,y]=g_0]

Trước tiên, ta lập hàm Lagrange:

[L[x,y;lambda ] = f[x,y] + lambda left[ g_0 – g[x,y] right]]

[[lambda] gọi là nhân tử Lagrange]

Ta thấy cực trị của hàm f với ràng buộc [g[x,y] = g_0] cũng đó đó là cực trị của hàm Lagrange L.

Ta có Đk cấp 1 tương tự trường hợp cực trị không ràng buộc

Điều kiện cần: Nếu L đạt cực trị địa phương tại [[x_0,y_0,lambda _0]] thì [L’_x=0, L’_y=0] và  [L’_lambda = 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]]

Điều kiện đủ:

Ta định nghĩa Hessian bao như sau:

[overline H = left[ beginarray*20c L”_xx&L”_xy&L”_xlambda \ L”_yx&L”_yy&L”_ylambda \ L”_lambda x&L”_lambda y&L”_lambda lambda endarray right] ]

Đặt [overline H_1 = left| beginarray*20c L”_xx&L”_xlambda \ L”_lambda x&L”_lambda lambda endarray right|,overline H_2 = left| overline H right|]

Ta có những định lý sau:

    Nếu [rmLrm’_rmxrm = 0, Lrm’_rmyrm = 0,Lrm’_lambda = 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]] và [overline H_1 rm 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]] thì L đạt cực lớn địa phương tại [[x_0,y_0,lambda _0]] Nếu [rmLrm’_rmxrm = 0, Lrm’_rmyrm = 0,Lrm’_lambda = 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]] và [overline H_1 < 0,rm overline H_2 < rm 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]overline H_2 < rm 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]] thì L đạt cực tiểu địa phương tại [[x_0,y_0,lambda _0]]. Nếu [rmLrm'_rmxrm = 0, Lrm'_rmyrm = 0,Lrm'_lambda = 0] tại [[x_0,y_0,lambda _0]] và [overline H_1 rm 0, forall [x,y] in D ] và với mọi [lambda] nằm trong một lân cận của [lambda_0] thì [[x_0,y_0]] là yếu tố cực lớn toàn cục của f trên D với ràng buộc g[x,y] = g0.

Chú ý: Bài toán tìm cực trị hàm [f[x,y]] với ràng buộc [g[x,y] = g_0] hoàn toàn có thể giải đơn thuần và giản dị bàng cách từ ràng buộc, rút y theo x [hay x theo y] và thế vào f. Từ đó, bài toán đưa về việc tìm cực trị của hàm một biến. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng rút được biến này theo biến kia. Hơn nữa, phương pháp Lagrange vận dụng được cho trường hợp hàm nhiều biến tổng quát với nhiều ràng buộc và nhân tử Lagrange [lambda] có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong kinh tế tài chính.

Ví dụ 1: Giả sử hàm quyền lợi riêng với 2 thành phầm là [cup [x,y] = ln x + ln y] trong số đó x là lượng hàng thứ nhất, y là lượng hàng thứ hai. Giả sử người tiêu dùng có thu nhập f phải dùng hết để sở hữ hai thành phầm trên, Px và Py lần lượt là đơn giá của hai mạt hàng. Bài toán đạt ra là cần tìm x và y để cực lớn hóa [cup] với ràng buộc [P_xx + P_y y = I]  [điều kiện của bài toán: [I ge 2P_x;I ge 2P_y]]

Hàm Lagrange của bài toán:

[L = ln x + ln y + lambda [I – P_xx – P_yy]]

Điều kiện cấp 1:

[left{ beginarrayl L’_x = 0\ L’_y = 0\ L’_lambda = 0 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl frac1x – lambda P_x = 0\ frac1y – lambda P_y = 0\ I – P_xx – P_yy = 0 endarray right. ]

[ Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = frac1xP_x = frac1yP_y\ I = frac2lambda endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = frac2I\ x = frac1lambda P_x = fracI2P_x\ y = frac1lambda P_y = fracI2P_y endarray right. ]

Hessian bao:

[beginarrayl overline H = left[ beginarray*20c – 1/x^2&0& – P_x\ 0& – 1/y^2& – P_y\ – P_x& – P_y&0 endarray right]\ \ overline H_1 = left| beginarray*20c – 1/x^2& – P_x\ – P_x&0 endarray right| = – P_x^2 0,,forall x,y,lambda ,[x ge 1,,y ge 1] endarray ]

Vậy [cup] đạt cực lớn toàn cục với ràng buộc g[x,y] = I tại  

[x = x^* = fracI2P_x]và [y = y^* = fracI2P_y]

Khi đó [cup = ln fracI2P_x + ln fracI2P_y = ln fracI^24P_xP_y]

Ví dụ 2: Giả sử hàm quyền lợi tùy từng số tiền tiêu dùng tại cuối hai thời kỳ 1 và 2 là C1 và C2 như sau: [cup = C_1C_2]

Giả sử lãi suất vay tại cuối thời kỳ thứ 1 là r = 0,5%, tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ 1 là I. Giả sử ta có ràng buộc [C_1 + fracC_21 + r = I]

[C2/[l+r] là hiện giá của C2 tại cuối thời kỳ thứ 1].

Bài toán đạt ra là tìm C1, C2 để cực lớn hóa hàm quyền lợi [cup]. Ta có hàm Lagrange của bài toán:

[Lleft[ C_1,C_2,lambda right] = C_1C_2 + lambda left[ I – C_1 – fracC_21,005 right]]

Điều kiện cấp 1:

[left{ beginarrayl L’_C_1 = 0\ L’_C_2 = 0\ L’_lambda = 0 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarray*20l C_2 – lambda = 0\ C_1 – fraclambda 1,005 = 0\ I – C_1 – fracC_21,005 = 0 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = C_2\ lambda = 1,005C_1\ 2C_1 = I endarray right. ]

[ Leftrightarrow left{ beginarray*20l C_1 = fracI2\ C_2 = 1,005fracI2\ lambda = 1,005fracI2 endarray right. ]

Hessian bao: 

[overline H = left[ beginarray*20c 0&1& – 1\ 1&0& – frac11,005\ – 1& – frac11,005&0 endarray right] ]

[overline H_1 = left| beginarray*20c 0& – 1\ – 1&0 endarray right| = – 1 0,,,forall C_1,C_2,lambda ]

Vậy U đạt cực lớn toàn cục khi [C_1 = C_1* = fracI2;,C_2 = C_2* = 1,005fracI2]

Ví dụ 3: Giả sử một xí nghiệp cần xác lập lượng lao động L, lượng vốn K để cực tiểu hóa ngân sách [C[L,K] = wL + rK]. Trong số đó w = 400 là tiền lương cho từng lao động, r = 0,01 là lãi suất vay của vốn vay. Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Q0 = 1000 cty thành phầm và hàm thành phầm là: [Qrm = rm Gleft[ L,K right]rm = L^1/2K^1/2]

Hàm Lagrange: [F[L,K,lambda ] = wL + rK + lambda [Q_0 – L^1/2K^1/2]]

Điều kiện cần: 

[left{ beginarrayl F’_L = 0\ F’_K = 0\ F’_lambda = 0 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl w – frac12lambda L^ – 1/2K^1/2 = 0\ r – frac12lambda L^1/2K^ – 1/2 = 0\ Q_0 – L^1/2K^1/2 = 0 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl fracKL = frac[800]^2lambda ^2\ fracLK = frac[0,02]^2lambda ^2\ LK = 10^6 endarray right. ]

[ Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = 4\ L = 5\ K = 200.000 endarray right. ]

Hessian bao:

[overline H = left[ beginarray*20c frac14lambda L^ – 3/2K^1/2& – frac14lambda L^ – 1/2K^ – 1/2& – frac12lambda L^ – 1/2K^1/2\ – frac14lambda L^ – 1/2K^ – 1/2&frac14lambda L^1/2K^ – 3/2& – frac12lambda L^1/2K^ – 1/2\ – frac12lambda L^ – 1/2K^1/2& – frac12lambda L^1/2K^ – 1/2&0 endarray right] ]

[beginarrayl overline H_1 = left| beginarray*20c frac14lambda L^ – 3/2K^1/2& – frac12lambda L^ – 1/2K^1/2\ – frac12lambda L^ – 1/2K^1/2&0 endarray right| = – frac14L^ – 1K < 0\ \ overline H_2 = left| overline H right| = – frac14lambda L^ – 1/2K^ – 1/2 0 endarray]

Vậy, C đạt cực tiểu toàn cục khi L = 5, K = 200.000.

Cách khác:

Ta có: [Q = 1000 Leftrightarrow L^1/2K^1/2 = 1000 Leftrightarrow LK = 10^6]

Hàm Lagrange: [F[L,K,lambda ] = wL + rK + lambda [10^6 – LK]]

[= rm 400Lrm + rm 0,01rm Krm + rm lambda rm[1rm0^6rm – rm LK]]

[F’_L = 400 – lambda K,,F’_K = 0,01 – lambda L,,,F”_LL = F”_KK = 0,,,F”_LK = – lambda]

[F”_lambda lambda = 0,F”_Llambda = – K,,F”_Klambda = – L,,F”_LK = – lambda]

[F’_L = F’_K = F’_lambda = 0left{ beginarrayl lambda = frac400K = frac0,01L\ LK = 10^6 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = frac400K\ K = 4.10^4L\ 4.10^4L^2 = 10^6 endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl lambda = 2.10^ – 3\ L = 5\ K = 200.00 endarray right. ]

Hiển nhiên [H_1 < 0] [vì [H_1 = – [F''_LL]^2]

[H_2 = left| beginarray*20c 0& – lambda & – K\ – lambda &0& – L\ – K& – L&0 endarray right| = – 2lambda LK 0 ]

Vậy, hàm ngân sách C đạt cực tiểu toàn cục khi

[L = 5, K = 2.10^5]

Reply
2
0
Chia sẻ

4161

Video Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học ?

Bạn vừa tìm hiểu thêm nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học tiên tiến và phát triển nhất

Chia Sẻ Link Down Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học miễn phí

Hero đang tìm một số trong những ShareLink Tải Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học miễn phí.

Giải đáp vướng mắc về Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Ứng dụng của cực trị trong kinh tế tài chính học vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha
#Ứng #dụng #của #cực #trị #trong #kinh #tế #học