Mẹo Hướng dẫn Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân Chi Tiết

Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân được Cập Nhật vào lúc : 2022-09-21 19:19:08 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi tìm hiểu thêm tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.

VnHocTap trình làng đến những em học viên lớp 11 nội dung bài viết Chứng minh một dãy số là cấp số nhân, nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung chính

    Tổng vô hạnSố phứcVideo liên quan

Nội dung nội dung bài viết Chứng minh một dãy số là cấp số nhân:
a) Để chứng tỏ dãy số (n) là một cấp số nhân, toàn bộ chúng ta nên phải chỉ tồn tại một số trong những không đổi q sao cho n + 1 = 1ng, Vn >1. b) Trong trường hợp un + 0, V >1 để chứng tỏ (Cm) là một cấp số nhân, toàn bộ chúng ta nên phải chỉ ra tỷ số “1” là một số trong những không riêng với mọi số nguyên dương 7. c) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, toàn bộ chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tục của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số sau là một cấp số nhân. 1 – 3, -1, -3,-27 – 31. Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số –3, -1,.. là một cấp số nhân có 6 số hạng. Ví dụ 2. Trong những dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? a) Dãy số (cm), với 2m = n^. b) Dãy số (yn), với Yn = V5***, c) Dãy số (Zn), a) Cách 1: Ba Số hạng đầu của dãy số (cm) là một trong, 4, 9. Vì 4 = 1.4; 944.4 nên dãy số (cm) không phải là cấp số nhân.
Cách 2: Ta có 2n+= (n+1) nên tùy từng n không phải là số không đổi). Do đó, (c) không phải là cấp số nhân. b) Ta có 3 + 1 = 45 nên 9n + 1 = 45 = 5 (là số không đổi). Do đó, (n) là cấp số nhân với công bội q = 5. c) Ta có an + 1 = 1 nên tùy từng n, không phải là số không đổi n + 1 không phải là một cấp số nhân.

Ví dụ 3. Trong những dãy số sau dãy nào là cấp số nhân? Hãy xác lập công bội của cấp số nhân đó. a) 1; 4; 16; 64; 256. b) 2; -2; 3; 3; 4; -4. 1 1 1 1 c) –1; 3: -5; 27; -81. a) Dãy số đã cho có số sau bằng số hạng kề trước nhân với 4 nên là cấp số nhân có công bội bằng 4. b) dãy đã cho không là cấp số nhân. c) Mỗi số hạng đứng sau của dãy số bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với -1.

Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn Đk Tính từ lúc số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số trong những không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Kích cỡ tiêu chuẩn quốc tế của giấy là một cấp số nhân với công bội là
2
displaystyle sqrt 2

Như vậy, một cấp số nhân có dạng

a
,
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
a
r
4
,

displaystyle a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,ldots

trong số đó r là công bội và a là số hạng thứ nhất.

Số hạng thứ n của cấp số nhân được xem bằng công thức

a
n
=
a
r
n

1
displaystyle a_n=a,r^n-1
 
trong số đó n là số nguyên thoả mãn
n

1
displaystyle ngeq 1
 Công bội khi đó là

r
=
(
a
n
a
)
1
n

1
displaystyle r=left(frac a_naright)^frac 1n-1
  hoặc
r
=
a
n
a
n

1
displaystyle r=sqrt[n-1]frac a_na
 
trong số đó n là số nguyên thoả mãn
n

1
displaystyle ngeq 1
 

    Cấp số nhân với công bội là 2 và thành phần thứ nhất là một trong

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….

Cấp số nhân với công bội 2/3 và thành phần thứ nhất là 729:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,….

Cấp số nhân với công bội −1 và thành phần đầu là 3

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,….

Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội.

Nếu công bội là:

    Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định và thắt chặt.
    Số âm: những số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
    0, mọi số hạng bằng 0.
    Lớn hơn 1, những số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
    1, là một dãy không đổi.
    Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
    −1, là một dãy đan dấu.
    Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Tổng những thành phần của cấp số nhân:


k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+

+
a
r
n
displaystyle sum _k=0^nar^k=ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+cdots +ar^n,
 

Nhân cả hai vế với (1-r):

(
1

r
)
S
n
+
1
=
(
1

r
)

k
=
0
n

a
r
k
=
a

a
r
n
+
1
displaystyle (1-r)S_n+1=(1-r)sum _k=0^nar^k=a-ar^n+1,
 

vì toàn bộ những số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:

S
n
+
1
=

k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1

r
n
+
1
)
1

r
displaystyle S_n+1=sum _k=0^nar^k=frac a(1-r^n+1)1-r
 

Chú ý: Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0 và m < n ta có


k
=
m
n
a
r
k
=
a
(
r
m

r
n
+
1
)
1

r
displaystyle sum _k=m^nar^k=frac a(r^m-r^n+1)1-r
 

Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng


k
=
0
n
k
s
r
k
displaystyle sum _k=0^nk^sr^k
 
d
d
r

k
=
0
n
r
k
=

k
=
0
n
k
r
k

1
=
1

r
n
+
1
(
1

r
)
2

(
n
+
1
)
r
n
1

r
displaystyle operatorname d over operatorname d !rsum _k=0^nr^k=sum _k=0^nkr^k-1=frac 1-r^n+1(1-r)^2-frac (n+1)r^n1-r
 

Tổng vô hạn

Nếu cấp số nhân có vô hạn thành phần thì tổng
S
n
displaystyle S_n
  là quy tụ khi
n


displaystyle nto infty
  khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (| r | < 1).

S
=

k
=
0

a
r
k
=
lim
n



k
=
0
n
a
r
k
=
lim
n


a
(
1

r
n
+
1
)
1

r
=
a
1

r
displaystyle S=sum _k=0^infty ar^k=lim _nto infty sum _k=0^nar^k=lim _nto infty frac a(1-r^n+1)1-r=frac a1-r
 

Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có


k
=
m

a
r
k
=
a
r
m
1

r
displaystyle sum _k=m^infty ar^k=frac ar^m1-r
 

Cả hai công thức chỉ đúng thời cơ | r | < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi đại số Banach, khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của những số p.-adic nếu |r|p. < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng.
Chẳng hạn,

d
d
r

k
=
0

r
k
=

k
=
0

k
r
k

1
=
1
(
1

r
)
2
displaystyle operatorname d over operatorname d !rsum _k=0^infty r^k=sum _k=0^infty kr^k-1=frac 1(1-r)^2
 

Tất nhiên công thức chỉ đúng thời cơ | r | < 1.

Số phức

Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng thời cơ những thành phần là những số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler, để tính một vài tổng như:


k
=
0

sin

(
k
x
)
r
k
=
1
2
i
[

k
=
0

(
e
i
x
r
)
k


k
=
0

(
e

i
x
r
)
k
]
displaystyle sum _k=0^infty frac sin(kx)r^k=frac 12ileft[sum _k=0^infty left(frac e^ixrright)^k-sum _k=0^infty left(frac e^-ixrright)^kright]
 .


k
=
0

cos

(
k
x
)
r
k
=
1
2
[

k
=
0

(
e
i
x
r
)
k
+

k
=
0

(
e

i
x
r
)
k
]
displaystyle sum _k=0^infty frac cos(kx)r^k=frac 12left[sum _k=0^infty left(frac e^ixrright)^k+sum _k=0^infty left(frac e^-ixrright)^kright]
 

Từ đó có:


k
=
0

sin

(
k
x
)
r
k
=
r
sin

(
x
)
1
+
r
2

2
r
cos

(
x
)
displaystyle sum _k=0^infty frac sin(kx)r^k=frac rsin(x)1+r^2-2rcos(x)
 


k
=
0

cos

(
k
x
)
r
k
=
r

c
o
s
(
x
)
1
+
r
2

2
r
cos

(
x
)
displaystyle sum _k=0^infty frac cos(kx)r^k=frac r-cos(x)1+r^2-2rcos(x)
 

    Dãy (toán học)
    Thomas Robert Malthus
    Cấp số cộng

Lấy từ “://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Cấp_số_nhân&oldid=66107652”

Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân

Reply
4
0
Chia sẻ

4353

Clip Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân ?

Bạn vừa tìm hiểu thêm tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Review Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân tiên tiến và phát triển nhất

Share Link Tải Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân miễn phí

Quý khách đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Down Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân Free.

Thảo Luận vướng mắc về Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha
#Cho #đây #dãy #nào #là #cấp #số #nhân

Mẹo Hướng dẫn Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân Chi Tiết

Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân được Cập Nhật vào lúc : 2022-09-21 19:19:08 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi tìm hiểu thêm tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.

VnHocTap trình làng đến những em học viên lớp 11 nội dung bài viết Chứng minh một dãy số là cấp số nhân, nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung chính

    Tổng vô hạnSố phứcVideo liên quan

Nội dung nội dung bài viết Chứng minh một dãy số là cấp số nhân:
a) Để chứng tỏ dãy số (n) là một cấp số nhân, toàn bộ chúng ta nên phải chỉ tồn tại một số trong những không đổi q sao cho n + 1 = 1ng, Vn >1. b) Trong trường hợp un + 0, V >1 để chứng tỏ (Cm) là một cấp số nhân, toàn bộ chúng ta nên phải chỉ ra tỷ số “1” là một số trong những không riêng với mọi số nguyên dương 7. c) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, toàn bộ chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tục của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số sau là một cấp số nhân. 1 – 3, -1, -3,-27 – 31. Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số –3, -1,.. là một cấp số nhân có 6 số hạng. Ví dụ 2. Trong những dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? a) Dãy số (cm), với 2m = n^. b) Dãy số (yn), với Yn = V5***, c) Dãy số (Zn), a) Cách 1: Ba Số hạng đầu của dãy số (cm) là một trong, 4, 9. Vì 4 = 1.4; 944.4 nên dãy số (cm) không phải là cấp số nhân.
Cách 2: Ta có 2n+= (n+1) nên tùy từng n không phải là số không đổi). Do đó, (c) không phải là cấp số nhân. b) Ta có 3 + 1 = 45 nên 9n + 1 = 45 = 5 (là số không đổi). Do đó, (n) là cấp số nhân với công bội q = 5. c) Ta có an + 1 = 1 nên tùy từng n, không phải là số không đổi n + 1 không phải là một cấp số nhân.

Ví dụ 3. Trong những dãy số sau dãy nào là cấp số nhân? Hãy xác lập công bội của cấp số nhân đó. a) 1; 4; 16; 64; 256. b) 2; -2; 3; 3; 4; -4. 1 1 1 1 c) –1; 3: -5; 27; -81. a) Dãy số đã cho có số sau bằng số hạng kề trước nhân với 4 nên là cấp số nhân có công bội bằng 4. b) dãy đã cho không là cấp số nhân. c) Mỗi số hạng đứng sau của dãy số bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với -1.

Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn Đk Tính từ lúc số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số trong những không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Kích cỡ tiêu chuẩn quốc tế của giấy là một cấp số nhân với công bội là
2
displaystyle sqrt 2

Như vậy, một cấp số nhân có dạng

a
,
a
r
,
a
r
2
,
a
r
3
,
a
r
4
,

displaystyle a,ar,ar^2,ar^3,ar^4,ldots

trong số đó r là công bội và a là số hạng thứ nhất.

Số hạng thứ n của cấp số nhân được xem bằng công thức

a
n
=
a
r
n

1
displaystyle a_n=a,r^n-1
 
trong số đó n là số nguyên thoả mãn
n

1
displaystyle ngeq 1
 Công bội khi đó là

r
=
(
a
n
a
)
1
n

1
displaystyle r=left(frac a_naright)^frac 1n-1
  hoặc
r
=
a
n
a
n

1
displaystyle r=sqrt[n-1]frac a_na
 
trong số đó n là số nguyên thoả mãn
n

1
displaystyle ngeq 1
 

    Cấp số nhân với công bội là 2 và thành phần thứ nhất là một trong

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….

Cấp số nhân với công bội 2/3 và thành phần thứ nhất là 729:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,….

Cấp số nhân với công bội −1 và thành phần đầu là 3

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,….

Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội.

Nếu công bội là:

    Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định và thắt chặt.
    Số âm: những số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
    0, mọi số hạng bằng 0.
    Lớn hơn 1, những số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
    1, là một dãy không đổi.
    Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
    −1, là một dãy đan dấu.
    Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Tổng những thành phần của cấp số nhân:


k
=
0
n
a
r
k
=
a
r
0
+
a
r
1
+
a
r
2
+
a
r
3
+

+
a
r
n
displaystyle sum _k=0^nar^k=ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+cdots +ar^n,
 

Nhân cả hai vế với (1-r):

(
1

r
)
S
n
+
1
=
(
1

r
)

k
=
0
n

a
r
k
=
a

a
r
n
+
1
displaystyle (1-r)S_n+1=(1-r)sum _k=0^nar^k=a-ar^n+1,
 

vì toàn bộ những số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:

S
n
+
1
=

k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1

r
n
+
1
)
1

r
displaystyle S_n+1=sum _k=0^nar^k=frac a(1-r^n+1)1-r
 

Chú ý: Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0 và m < n ta có


k
=
m
n
a
r
k
=
a
(
r
m

r
n
+
1
)
1

r
displaystyle sum _k=m^nar^k=frac a(r^m-r^n+1)1-r
 

Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng


k
=
0
n
k
s
r
k
displaystyle sum _k=0^nk^sr^k
 
d
d
r

k
=
0
n
r
k
=

k
=
0
n
k
r
k

1
=
1

r
n
+
1
(
1

r
)
2

(
n
+
1
)
r
n
1

r
displaystyle operatorname d over operatorname d !rsum _k=0^nr^k=sum _k=0^nkr^k-1=frac 1-r^n+1(1-r)^2-frac (n+1)r^n1-r
 

Tổng vô hạn

Nếu cấp số nhân có vô hạn thành phần thì tổng
S
n
displaystyle S_n
  là quy tụ khi
n


displaystyle nto infty
  khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (| r | < 1).

S
=

k
=
0

a
r
k
=
lim
n



k
=
0
n
a
r
k
=
lim
n


a
(
1

r
n
+
1
)
1

r
=
a
1

r
displaystyle S=sum _k=0^infty ar^k=lim _nto infty sum _k=0^nar^k=lim _nto infty frac a(1-r^n+1)1-r=frac a1-r
 

Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có


k
=
m

a
r
k
=
a
r
m
1

r
displaystyle sum _k=m^infty ar^k=frac ar^m1-r
 

Cả hai công thức chỉ đúng thời cơ | r | < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi đại số Banach, khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của những số p.-adic nếu |r|p. < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng.
Chẳng hạn,

d
d
r

k
=
0

r
k
=

k
=
0

k
r
k

1
=
1
(
1

r
)
2
displaystyle operatorname d over operatorname d !rsum _k=0^infty r^k=sum _k=0^infty kr^k-1=frac 1(1-r)^2
 

Tất nhiên công thức chỉ đúng thời cơ | r | < 1.

Số phức

Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng thời cơ những thành phần là những số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler, để tính một vài tổng như:


k
=
0

sin

(
k
x
)
r
k
=
1
2
i
[

k
=
0

(
e
i
x
r
)
k


k
=
0

(
e

i
x
r
)
k
]
displaystyle sum _k=0^infty frac sin(kx)r^k=frac 12ileft[sum _k=0^infty left(frac e^ixrright)^k-sum _k=0^infty left(frac e^-ixrright)^kright]
 .


k
=
0

cos

(
k
x
)
r
k
=
1
2
[

k
=
0

(
e
i
x
r
)
k
+

k
=
0

(
e

i
x
r
)
k
]
displaystyle sum _k=0^infty frac cos(kx)r^k=frac 12left[sum _k=0^infty left(frac e^ixrright)^k+sum _k=0^infty left(frac e^-ixrright)^kright]
 

Từ đó có:


k
=
0

sin

(
k
x
)
r
k
=
r
sin

(
x
)
1
+
r
2

2
r
cos

(
x
)
displaystyle sum _k=0^infty frac sin(kx)r^k=frac rsin(x)1+r^2-2rcos(x)
 


k
=
0

cos

(
k
x
)
r
k
=
r

c
o
s
(
x
)
1
+
r
2

2
r
cos

(
x
)
displaystyle sum _k=0^infty frac cos(kx)r^k=frac r-cos(x)1+r^2-2rcos(x)
 

    Dãy (toán học)
    Thomas Robert Malthus
    Cấp số cộng

Lấy từ “://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Cấp_số_nhân&oldid=66107652”

Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân

Reply
4
0
Chia sẻ

4353

Clip Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân ?

Bạn vừa tìm hiểu thêm tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Review Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân tiên tiến và phát triển nhất

Share Link Tải Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân miễn phí

Quý khách đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Down Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân Free.

Thảo Luận vướng mắc về Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Cho 4 đây dãy nào là cấp số nhân vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha
#Cho #đây #dãy #nào #là #cấp #số #nhân