Kinh Nghiệm về Cách tìm hai điểm cực trị Chi Tiết
Quý khách đang tìm kiếm từ khóa Cách tìm hai điểm cực trị được Update vào lúc : 2022-11-08 18:29:00 . Với phương châm chia sẻ Kinh Nghiệm Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tìm hiểu thêm Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.
Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn nhu cầu Đk cho trước là một bài toàn phổ cập trong chương trình toán lớp 12 và trong kỳ thi THPT Quốc Gia. Để giúp những bạn học viên nắm vững dạng toán này, nội dung bài viết dưới đây sẽ trình diễn hơn 10 loại bài tập hay gặp nhất và cách giải kèm tài liệu phía cuối nội dung bài viết. Bài viết liên quan
Tìm giá trị lớn số 1 nhỏ nhất của hàm sốĐường quán cậnKhảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốPhương trình tiếp tuyếnCông thức logarit
Phương pháp tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn nhu cầu
Bước 1: Hàm số đạt cực lớn (cực tiểu) tại điểm x0 thì f (x0) = 0, tìm kiếm được tham số.Bước 2: Với giá trị tham số tìm kiếm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại.
Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Phương pháp
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta hoàn toàn có thể làm trắc nghiệm như sau:Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 Hàm số đạt cực lớn tại x = x0
Bài tập mẫu
Bài tập 1: Tìm m để hàm số đạt cực lớn tại điểm x = 3.A. m = -1.B. m = -5.C. m = 5.D. m = 1.Hướng dẫn giảiChọn CTa có y = x2 2mx + mét vuông 4 y = 2x 2mHàm số đạt cực lớn tại x = 3 thìy (3) = 0 mét vuông 6m + 5 = 0 .Với m = 1, y (3) = 2.3 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là yếu tố cực tiểu.Với m = 5, y (3) = 2.3 2.5 = -4 < 0 suy ra x = 3 là yếu tố cực lớn.Bài tập 2: Hàm số y = ax3 + x2 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H = 4a b làA. H = 1.B. H = -1.C. H = -2.D. H = 3.Hướng dẫn giảiChọn B.Ta có: y = 3ax2 + 2x 5 y = 6ax + 2.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 y (1) = 0 a = 1.Thay a = 1 ta thấy y (1) = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là yếu tố cực tiểu.Mặt khác ta có: y (1) = 2 1 + 1 5 + b = 2 b = 5Vậy H = 4. 1 5 = -1.Bài tập 3: Hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực lớn tại điểm x = 1, f (1) = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b 3c + d làA. T = 2B. T = 3C. T = 4D. T = 0Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có f (x) = 3ax2 + 2bx + c.Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f (0) = 0 và đạt cực lớn tại điểm x = 1, f (1) = 1 nên ta có hệ phương trình T = 4.Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x3 + mx 1 có cực lớn và cực tiểu làA. m 0B. m 0C. m > 0D. m < 0Hướng dẫn giảiChọn D.Hàm số y = x3 + mx 1 có cực lớn và cực tiểu khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3×2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.Do đó m < 0.Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có những yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực lớn và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y = 0 có hai nghiệm phân biệt.Bài tập 5: Với giá trị nào của m thì hàm số H10 có cực trị?A. B. m < 1C. D. m 1Hướng dẫn giảiChọn B.Ta có: y = mx2 + 2x + 1.Với m = 0, hàm số trở thành y = x2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.Vậy m = 0 thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.Xét m # 0, để hàm số có cực trị thì y = 0 có hai nghiệm phân biệt > 0 1 m > 0 m < 1.Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.Chú ý: Với bài toán hỏi có cực trị và thông số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.Bài tập 6: Tìm những giá trị của m để hàm số y = mx3 3mx2 (m 1) x + 2 không còn cực trị.A. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có: y = 3mx2 6mx m + 1.Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên nên không còn cực trị, nhận m = 0.Xét m 0, hàm số không còn cực trị khi y = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm = 9m2 3m (1 m) 0 12m2 3m 0 .Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không còn cực trị.Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m [-20; 20] để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu làA. 18B. 17C. 19D. 16Hướng dẫn giảiChọn A.y = (m 1) x2 + 2(mét vuông 4) x + (mét vuông 9).Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y = 0 có hai nghiệm trái dấu (m 1)(mét vuông 9) < 0 .Vậy m -20; -19; ; -4; 2, có 18 giá trị của m.Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx3 + m (m 1) x2 (m + 1) x -1 có hai điểm cực trị đối nhau?A. 0B. 2C. 1D. 3Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có: y= 3mx2 + 2m (m 1) x (m + 1).Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau y = 0 có hai nghiệm đối nhau m = 1.Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương làA .B. C. m < 0D. Hướng dẫn giảiChọn B.Ta có: y = mx2 + 2 (m 1) x + m + 2.Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương y = 0 có hai nghiệm phân biệt dương .Bài tập 10: Cho hàm số y = x3 + (1 2m) x2 + (2 m) x +m + 2. Các giá trị của m để đồ thì của hàm số có điểm cực lớn, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 làA. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn A.Ta có: y = 3×2 + 2 (1 2m) x + 2 m.Đồ thị hàm số có điểm cực lớn, cực tiểu khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt = (1 2m)2 3 (2 m) > 0 4m2 m 5 > 0 .Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình y = 0.Bảng biến thiênKhi đó, yêu càu bài toán trở thành:x2 < 1 . .Kết hợp Đk có cực trị thì m < -1 và thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn thuần và giản dị hơn như sau:Xét x1 < x2 < 1 .Bài tập 11: Tìm những giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx 1 nằm bên cạnh phải trục tung.A. m < 0B. C. D. Không tồn tạiHướng dẫn giảiChọn A.Ta có: y = 3×2 + 2x + m.Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt = 1 3m > 0 (1).Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là nghiệm của phương trình y = 0 thì.Bảng biến thiênDo nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx 1 n
ằm bên cạnh phải trục tung x1 x2 < 0 m < 0 (2).Từ (1), (2) ta có m < 0.Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn nhu cầu yêu cầu x1 < -2 < x2 làA. m < 2B. m < 2 hoặc m > 6C. hoặc m > 6D. Hướng dẫn giảiChọn D.Ta có: y = x2 2 (m 2) x + (4m 8).Yêu cầu bài toán trở thành(x1 + 2) (x2+2) < 0 (4m 8) + 4 (m 2) + 4 < 0 .Bài tập 13: Gọi S là tập những giá trị thực của tham số m để hàm số y = (x m) (x2 2x m 1) có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn nhu cầu . Tổng toàn bộ những thành phần của S bằngA. 2B. -2C. 4D. 0Hướng dẫn giảiChọn A.Ta có: y = 3×2 2 (m + 2) x + m 1.Hàm số có hai điểm cực trị khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt = mét vuông + m + 7 > 0 (luôn đúng).Theo định lí Vi-ét ta có:.Vậy tổng cần tìm bằng 4 + (-2) = 2.Dạng 2: Tìm m để hàm bậc 4 trùng phương có cực trị
Phương pháp
Xét hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 0), có đạo hàm là y = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b).Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y = 0 có đúng một nghiệm ab 0.Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị hoặc có ba điểm cực trị, và luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.Đồ thị hàm số có ba cực trị:Nếu a > 0 hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực lớn;Nếu a < 0 hàm số có hai điểm cực lớn và một điểm cực tiểu.Chú ý rằng ba điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn tạo ra thành một tam giác cân.Khi hàm số có một cưc trị:a > 0 thì điểm cực trị là yếu tố cực tiểu;a < 0 thì điểm cực trị là yếu tố cực lớn.Đồ thị hàm số có nhiều điểm cực trị nhất (bảy cực trị) khi đò thị hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị và đồ thị của nó cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.Đồ thị hàm số có ít điểm cực trị nhất (một cực trị) khi đồ thị hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c có một điểm cực trị và đồ thị của nó không còn điểm chung hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành.
Bài tập mẫu
Bài tập 1: Có bao nhiêu số nguyên m [-20; 20] để đồ thị hàm số y = mx4 + (mét vuông 9) x2 + 1 có ba điểm cực trị?A. 20B. 19C. 18D. 17Hướng dẫn giảiChọn B.Ta có: y = 4mx3 + 2 (mét vuông 9) x = .y = 0 (1).Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y = 0 có ba nghiệm phân biệt hay (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2m (mét vuông 9) < 0 .Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu đề bài.Bài tập 2: Tập hợp những giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 3mx2 4 có ba điểm cực trị phân biệt và hoành độ của chúng trong mức chừng (-2; 2) làA. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn A.Ta có y = 4×3 + 6mx. Cho y = 0 (2).Để thỏa mãn nhu cầu đề bài phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thuộc khoảng chừng (-2; 2) .Bài tập 3: Biết rằng hàm số y = x4 2 (mét vuông + 1) x2 + 2 có điểm cực tiểu. Giá trị lớn số 1 của cực tiểu làA. 1B. -1C. 0D. 2Hướng dẫn giảiy = 4×3 4 (mét vuông + 1) x y = 0 .Rõ ràng phương trình y = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt.Lập bảng biến thiên, hay thấy là những điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.Giá trị cực tiểu là yCT = 2 (mét vuông + 1) = 1 (m4 + 2m2) 1 (dấu = xẩy ra khi m = 0).Bài tập 4: Với giá trị nào của k thi hàm số y = kx4 + (k 1) x2 + 1 2k chỉ có một cực trị?A. 0 < k 1B. 0 k 1C. D. Hướng dẫn giảiChọn D.Với k = 0, hàm số trở thành y = -x2 + 1 có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đók = 0 thỏa mãn nhu cầu đề bàiVới k 0. Ta có y = 4kx3 + 2(k 1) x=2x (2kx2 + k 1).Để thỏa mãn nhu cầu yêu cầu đề bài thì phương trình 2kx2 + k 1 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệmx = 0 k (k -1) 0 .Kết hộ hai trường hợp ta được những giá trị cần tìm là k 1 hoặc k 0.Chú ý: x=0 là nghiệm của phương trình 2kx2 + k 1 = 0.Bài tập 5. Giá trị của m để hàm số y = (m + 1) x4 2mx2 + 2m + m4 đạt cực lớn tại x = 2 láA. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn B.Ta có: y = 4(m + 1) x3 4mx y = 12(m + 1) x2 4m.Để hàm số đạt cực lớn tại x = 2 thì y (2) = 0 32(m + 1) 8m = 0 .Với thì y (2) = , suy ra x = 2 là yếu tố cực lớn.Chú ý: Nếu f(x0) = f(x0) = 0 thì ta lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để kiểm tra.Bài tập 6. Cho hàm số là một điểm cực trị. Tổng những giá trị của m làA. 1B. C. -1D. Hướng dẫn giảiChọn D.y = 2×3 3mx + 1 y = 6×2 3mHàm số đạt cực trị tại điểm x = m y(m) = 0 .Với m = 1, ta có: y (1) = 6 3 > 0 x = 1 là yếu tố cực tiểu (cực trị) nên m = 1 thỏa mãn nhu cầu.Với , ta có: là yếu tố cực tiểu (cực trị) nên thỏa mãn nhu cầu.Vậy tổng những giá trị của m thỏa mãn nhu cầu Đk trên là .Bài tập 7: Biết đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai điểm cực trị là A（0;2 ）, B （2; -14 ）. Giá trị của y (1) làA. y (1) = -5B. y (1) = -4C. y (1) = -2D. y (1) = 0Hướng dẫn giảiChọn A.Ta có: y = 4ax3 + 2bx.Các điểm A(0; 2), B(2; -14) thuộc đồ thị hàm số nên (1).Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2, suy ra 32a + 4b = 0 (2).Từ (1); (2) ta có y = x4 8×2 + 2.Dễ thấy hàm số có những điểm cực trị là A(0; 2); B(2; -14) nên y = x4 8×2 + 2 là hàm số cần tìm.Khi đó y (1) = -5.Bài tập 8: Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 2 (m 1) x2 + 3m có A là yếu tố cực lớn và B, C là hai điểm cực điểm. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức làA. 9B. 8C. 12D. 15Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có: y = 4×3 4 (m 1) x. Cho y = 0 .Hàm số có ba điểm cực trị nên m > 1.Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A (0; 3m), và . Suy ra OA = 3m, .Ta có: = .Dấu = xẩy ra khi 3 (m 1) = m = 2.Bài tập 9: Cho đồ thị hàm số (C1): y = f(x) = x4 + ax2 + b và đồ thị hàm số (C2): y = g(x) = x3 + mx2 + nx + p. như hình vẽ dưới. Gọi B, D là hai điểm cực tiểu của (C1) và A, C lần lượt là yếu tố cực lớn và điểm cực tiểu của (C2) (A, C đối xứng nhau qua Oy). Biết hoành độ của A, B bằng nhau và hoành độ của C, D bằng nhau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để AB 3?A. 1B. 2C. 3D. 4Phân tích: nhờ
vào đồ thị ta có b = p. và m = 0. Khi đó: (C2): y = x3 + nx + b.Ta cần tìm tung độ của điểm A và B (theo a).Hướng dẫn giảiChọn B.f(x) = 0 và g(x) = 0 .Theo đề bài ta có a, n < 0 và .Khi đó:; . trong số đó .Xét AB 3 t4 + 2t3 3 t 1 a -2.Do a < 0 nên a ｛-2; -1 ｝.Bài tập 10: Cho hai hàm đa thức y = f(x) = g(x) có đồ thị là hai tuyến phố cong như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số y = g(x) có đúng một điểm cực trị là B (với xA = xB) và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m (-10; 10) để hàm số có đúng bảy điểm cực trị?A. 5B. 6C. 3D. 4Hướng dẫn giảiChọn C.Gọi x1, x2 với x1 < x2 là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) và y = g(x) (nhờ vào đồ thị đã cho, hai đồ thị chỉ có hai giao điểm đã kể trên, tức làf(x) g(x) = 0 .Xét Ta có: .Cho h(x) = 0 x = xA = xB. Ta có bảng biến thiên của h(x) như sauDựa vào bảng biến thiên của h(x), yêu cầu bài toán trở thành .Do m nguyên và m (-10; 10) nên m ｛-3; -2; -1 ｝.Dạng 3. Tìm m để hàm hàm phân thức có cực trị thỏa mãn nhu cầu
Phương pháp
Xét . Ta có .Gọi M (x0; y0) là yếu tố cực trị. Khi đó y(x0) = 0.Suy ra u(x0). v (x0) v(x0). u(x0) = 0 .Đường cong qua những điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số là .Nói riêng, đường thẳng qua những điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số là .Chú ý: = = .
Bài tập
Bài tập 1: Giá trị của m để hàm số có cực trị làA. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn A.Điều kiện x 0. Ta có: .Hàm số có cực trị khi x2 3m +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 3m 1 > 0 .Bài tập 2: Giá trị của m để hàm số đạt cực lớn tại x = 1 làA. m = 2B. m = -1C. m = -2D. m = 1Hướng dẫn giảiChọn C.Điều kiện: x -m.Ta có: ; y = 0 .Bảng biến thiênDựa vào bảng biến thiên, hàm số cực lớn tại x = 1 -m 1 = 1. m = -2.Bài tập 3: Cho hàm số (với p., q là tham số thực). Biết hàm số đạt cực lớn tại x = -2, giá trị cực lớn bằng -2. Tổng S = p. + 2q bằngA. S = 2B. S = 0C. S = 1D. S = 3Hướng dẫn giảiChọn D.Điều kiện x 1.Ta có: .Hàm số đạt cực lớn tại điểm x = -2, giá trị cực lớn bằng -2 nên.Thử lại p. = q = 1 thỏa mãn nhu cầu nên S = 1 + 2 = 3.Bài tập 4: Giá trị của m để khoảng chừng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 làA. m = 10B. m = 8C. m = 4D. m = 2Hướng dẫn giảiĐiều kiện: x 1.Ta có: .Hàm số có hai cực trị khi -x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác m > -1.Khi đó theo định lý Vi-ét ta có .Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là (d): y = -2x m.Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị A (x1, -2×1 m), B (x2, -2×2 m) .Theo yêu cầu của đề bài ta có(x1 x2)2 + 4 (x1 x2)2 = 100 (x1 + x2)2 4x1x2 = 20 4 + 4m = 20 m = 4.Bài tập 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và toàn bộ những điểm cực trị đều thuộc hình tròn trụ tâm O, bán kính 6?A. 10B. 8C. 9D. 7Hướng dẫn giảiChọn B.Điều kiện: x 0. Ta có: .Hàm số có hai điểm cực trị khi m > 0. Khi đó y = 0 .Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là , .Theo đề bài ta có OA2 = OB2 = 4m2 36m + 1 0.Do m , m > 0 nên m 1; 2; 3; 8.Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn nhu cầu.Bài tập 6: Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và ba điểm A, B, C(4; 2) phân biệt thẳng hàng?A. 0B. 2C. 3D. 1Hướng dẫn giảiChọn A.Điều kiện: x |m|.Ta có: .Cho y = 0 (x |m|)2 4 = 0 .Do |m| + 2 |m| 2, m nên y = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.Do đó đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là (AB): y = 2x |m|. Ba điểm A, B, C (4; 2) phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi.Suy ra không còn mức giá trị nào của m thỏa mãn nhu cầu đề bài.Bài tập 7: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C) có điểm cực lớn, cực tiểu A, B sao cho tam giác OAB vuông?A. 4B. 2C. 3D. 1Hướng dẫn giảiTa có: x 2. Ta có: .Ta có x2 + 4x + 4 mét vuông = 0 .Hàm số có điểm cực lớn, cực tiểu khi chỉ và khi m 0.Tọa độ những điểm cực trị của đồ thị làA (-m 2; -2), B (m 2; 4m 2) .Dễ thấy .Trường hợp 1: Tam giác OAB vuông tại O. -mét vuông 8m + 8 = 0 (thỏa mãn nhu cầu)Trường hợp 2: Tam giác OAB vuông tại A 2m (-m 2) 2.4m = 0 -m 2 4 = 0 m = -6 (thỏa mãn nhu cầu).Trường hợp 3: Tam giác OAB vuông tại B 2m (m 2) + (4m 2) 4m = 0 m 2 + 2 (4m 2) = 0 (thỏa mãn nhu cầu).Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn nhu cầu đề bài.Bài tập 8: Cho hàm số (C): với m là tham số. Giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng (AB) trải qua hai điểm M (-1; 2) làA. m = 8B. m= 6C. m = 4D. m = 2Hướng dẫn giảiChọn B.Tập xác lập: D = . Ta có: .Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi mx2 + 4x m = 0 có hai nghiệm phân biệt m 0.Đường cong qua hai điểm cực trị có phương trình là .Ta viết phương trình đường cong dưới dạng .Ta chọn k sao cho nghiệm của mẫu là nghiệm của tử để hoàn toàn có thể rút gọn thành hàm số số 1. Vì x = 0 là nghiệm của mẫu, nên thế x = 0 vào tử ta được -m + k (-m) = 0 k = -1.Với k = -1: .Điểm M (-1; 2) (AB) m = 6 (thỏa mãn nhu cầu).Dạng 4: Tìm m để cực trị của hàm chứa căn thỏa mãn nhu cầu Đk
Bài tập 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [-10; 10] để hàm số có cực tiểu?
A. 7B. 16C. 8D. 14Hướng dẫn giảiChọn C.Hàm số xác lập trên .Ta có: và .y = 0 (1).Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi (1) có nghiệm mét vuông 4 > 0 .Khi đó, (1) có hai nghiệm phân biệt là .Với m > 2, thì thỏa mãn nhu cầu y(x1) = 0 và y(x1) > 0, suy ra x1 là yếu tố cực tiểu, nhận m > 2.Với m < -2, thì thỏa mãn nhu cầu y(x2) = 0 và y(x2) < 0, suy r
a x2 là yếu tố cực lớn, loại, do m < -2Do m nguyên, m > 2 và m [-10; 10] nên m 3; 4; ; 9; 10.Chú ý: Để làm trắc nghiệm ta hoàn toàn có thể làm như sau: Hàm số đạt cực tiểu khi hệ sau có nghiệm: .
Bài tập 2: Có bao nhiêu gia trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực trị và toàn bộ những điểm cực trị thuộc hình tròn trụ tâm O, bán kính ?
A. 4B. 2C. 3D. 1Hướng dẫn giảiChọn A.Tập xác lập: D = .Ta có: .Cho y = 0 , (x 0).Xét , x 0.Ta có .Bảng biến thiênHàm số có cực trị khi m [-1; 1].Gọi A (a; b) là yếu tố cực trị của đồ thị hàm số.Khi đó và .Ta có: .Vậy .Kết phù thích hợp với những Đk m , m [-1; 1] ta được m -3; -2; 2; 3.Bài tập 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực trị và toàn bộ những điểm cực trị thuộc hình tròn trụ tâm O, bán kính ?
A. 16B. 10C. 12D. 4Hướng dẫn giảiChọn C.Tập xác lập: D = Ta có: , x y = 0 .Hàm số có cực trị khi và chỉ khi .Gọi A (a; b) (a 0) là yếu tố cực trị của đồ thị hàm số, khi đó: và .Theo đề bài ta có a2 4.Ta có:0 < a2 4 .Vì m và nên m -14; -13; ; -4; -3.Vậy có 12 giá trị của tham số m thỏa mãn nhu cầu đề bài.Chú ý: Hàm số không thể đạt cực trị tại điểm x = 0Dạng 5: Cực trị của hàm bậc cao và hàm lượng giácBài tập 1: Biết rằng tồn tại những số thực a, b, c sao cho hàm số f(x) = x6 + ax4 + bx2 +3x +c đạt cực trị tại điểm x = 2. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x = -2 là
A. 0B. -3C. 3D. 6Hướng dẫn giảiChọn D.Ta có: f(x) = 6×5 +4ax3 + 2bx + 3.Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2 nên f (2) = 0 6.25 + 4. a. 23 + 4b + 3 = 0.Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x = -2 làf (-2) = 0 -6. 25 4. a. 23 4b + 3 = 3 (6. 25 + 4. A. 23 + 4b) = 6.Bài tập 2: Biết rằng tồn tại những số thực a, b, c sao cho hàm số f(x) = a. sin2x b. cos3x + x + c đạt cực trị tại điểm . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ là
A. 0B. -1C. 2D. -2Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có: f(x) = a. sin2x + 3b. sin3x + 1.Hàm số đạt cực trị tại điểm , suy ra .Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ là.Bài tập 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + (m 4) x5 (mét vuông 16) x4 + 1 đạt cực tiểu tại điểm x = 0?
A. 8B. Vô sốC. 7D. 9Hướng dẫn giảiChọn A.Ta có: y = 8×7 + 5 (m 4) x4 4 (mét vuông 16) x3 = x3 [8×4 + 5 (m 4) x 4 (mét vuông 16)] = x3. g(x)Với g(x) = 8×4 + 5 (m 4) x 4 (mét vuông 16). Ta xét những trường hợp sau:Nếu mét vuông 16 = 0 m = ± 4.Khi m = 4 ta có y = 8×7 x = 0 là yếu tố cực tiểu.Khi m = -4 ta có y = x4 (8×3 40) x = 0 không là yếu tố cực tiểu.Nếu mét vuông 16 0 m ± 4 g (0) 0.Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi trải qua điểm x = 0. . -4 (mét vuông 16) > 0 mét vuông 16 < 0 -4 < m < 4 m -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.Tổng hợp những trường hợp ta có: m -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;4.Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.Bài tập 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + (m 2) x5 (mét vuông 4) x4 + 1 đạt cực tiểu x = 0?
A. 3B. 5C. 4D. Vô sốHướng dẫn giảiChọn C.Ta có: y = 8×7 + 5 (m 2) x4 4 (mét vuông 4) x3 = x3. h(x) với h(x) = 8×4 + 5 (m 2) x 4 (mét vuông 4).Ta xét những trường hợp sau:Nếu mét vuông 4 = 0 m = ±2.Khi m = 2 thì y = 8×7 x = 0 là yếu tố cực tiểu nên m = 2 thỏa mãn nhu cầu.Khi m = -2 thì y = x4 (8×3 20) x = 0 không là yếu tố cực tiểu.Nếu mét vuông 4 0 m ±2 h (0) 0.Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 khi và chỉ khi giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi trải qua điểm x = 0.Do đó -4 (mét vuông 4) > 0 -2 < m < 2 m -1; 0; 1.Tổng hợp những trường hợp ta có m -1; 0; 1; 2.Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn nhu cầu yêu cầu.Dạng 6: Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối
Phương pháp
Bước 1. Tập xác lập và tính đạo hàmĐạo hàm hàm chứa trị tuyệt riêng với công thức:.Chú ý: .Bước 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm những điểm làm cho đạo hàm không xác lập (nhưng hàm số xác lập tại những điểm đó).Bước 3. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Bài tập
Bài tập 1: Số điểm cực lớn của hàm số làA. 1B. 3C. 2D. 0Hướng dẫn giảiChọn C.Hàm số liên tục trên có .Hàm số không còn đạo hàm tại điểm x = 0.Khi x < 0 ta cóf(x) = 0 .Khi x > 0 ta cóf(x) = 0 .Bảng xét dấu y:Vậy hàm số có hai điểm cực lớn.Bài tập 2: Số điểm cực trị của hàm số y = (x +1) |x 2| làA. 1B. 4C. 2D. 3Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có đồ thị của hàm số y = (x + 1) (x 2) như sau.Vì y = (x + 1) |x 2| = Nên để vẽ đồ thị hàm số đã cho, ta không thay đổi đồthị y = (x +1) (x 2) khi x 2 và lấy đối xứng quatrục hoành phần đồ thị y = (x + 1) (x 2) ứng vớix < 2.Dễ thấy hàm số y = (x + 1) |x 2| có hai điểm cực trị (xem hình vẽ dưới đây):Dạng 7: Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị
Phương pháp
Xét bài toán: Định tham số để đồ thị hàm số y = f(|x|) hoặc y = |f(|x|)| có n điểm cực trị. Bước 1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra tham số thỏa mãn nhu cầu yêu cầu đề bài
Bài tập
Bài tập 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [-5; 5] để hàm số y = |x3 6×2 + (9 m) x + 2m 2| có 5 điểm cực trị?A. 6B. 8C. 5D. 7Hướng dẫn giảiChọn BXét f(x) = x3 6×2 + (9 m) x + 2m 2Cho f(x) = 0 x3 6×2 + (9 m) x + 2m 2 = 0 x3 6×2 + 9x 2 mx + 2m = 0 (x 2) (x2 4x + 1 m) = 0 .Hàm số y = |x3 6×2 + (9 m) x+ 2m 2| có 5 điểm cực trị khi f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt và chỉ khi x2 4x +1 m = 0 có 2
nghiệm phân biệt khác 2. .Do m nguyên m [-5; 5] nên m -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu đề bài.Lời bình: Ta hoàn toàn có thể nhìn rõ những kết luận này từ việc biến hóa đồ thị.Từ đồ thị y = f(x) suy ra đồ thị y = |f(x)|Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y = |x|3 (2m + 1) x2 + 3m|x| 5 có 5 điểm cực trịA. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn B.Xét f(x) = y = x3 (2m + 1) x2 + 3mx 5.Suy ra f(x) = 3×2 2 (2m +1) x + 3m.Hàm số y = |x|3 (2m + 1) x2 + 3m|x| 5 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị dương f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt dương .Lời bình: Ta hoàn toàn có thể nhìn rõ những kết luận này từ việc biến hóa đồ thị.Từ đồ thị y = f(x) suy ra đồ thị y = f(|x|)Bài tập 3: Có bao nhiêu số nguyên của tham số m (-2022; 2022) để hàm số f(x) = x2 2m |x m + 2022| + 2022 có 3 điểm cực trị?A. 1009B. 2022C. 2022D. 1008Hướng dẫn giảiChọn A.f(x) = = .Dễ thấy hàm số không còn đạo hàm tại điểm x = m 2022.Ta có: f(x) = 0 . .Nếu m 1010 thì f(x) = 0 x = m và không còn đạo hàm tại điểm x = m 2022 nên không còn đủ 3 điểm cực trị. Do đó loại trường hợp này.Nếu m > 1010, ta có bảng xét dấu đạo hàm như sauVậy hàm số có 3 điểm cực trị với m > 1010.Mà m (-2022; 2022) nên m 1011; 1012; ; 2022.Vậy có 1009 số thỏa mãn nhu cầu đề bài.Dạng 8: Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số trị tuyệt đối có n điểm cực trị
Phương pháp
Bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) hoặc cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của f(x).Yêu cầu tìm giá trị của tham số m để hàm số g (x, m) có n điểm cực trị.Đưa hàm số g (x, m) về hàm số đơn thuần và giản dị hơn (nếu hoàn toàn có thể). Sau đó sử dụng những phép biến hóa đồ thị hàm trị tuyệt đối.Bài tậpBài tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 1, có đạo hàm trên 1 và có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [-20; 20] để hàm số co nhiều điểm cực trị nhất?A. 21B. 19C. 22D. 20Hướng dẫn giảiChọn D.Số điểm cực trị của bằng với số điểm cực trị của hàm số h(x) = f (|x| m).Ta có .Hiển nhiên hàm số không còn đạo hàm tại điểm x = 0.Cho h(x) = 0 .Hàm số h(x) = f (|x| m) có nhiều điểm cực trị nhất lúc và chỉ khi h(x) = 0 có nhiều nghiệm dương nhất hay 0 < m.Do m nguyên và m [-20; 20] nên m 1; 2; 3; ; 20.Bài tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên và có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f (|x4 4×2 +m|) có nhiều điểm cực trị nhất?A. 2B. 4C. 3D. 5Hướng dẫn giảiChọn C.Ta có Ta có |x4 4×2 + m| 0.Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f(|x4 4×2 +m|) = 0 vô nghiệm (*).Hàm số g(x) có nhiều điểm cực trị nhất lúc g(x) = 0 có nhiều nghiệm phân biệt nhất.Kết phù thích hợp với (*), ta có hệ phương trình có nhiều nghiệm phân biệt nhất x4 4×2 + m = 0 có nhiều nghiệm nhất và toàn bộ những nghiệm đều khác 0 và khác (vì 4×3 8x = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt là 0; ) m = -x4 + 4×2 có nhiều nghiệm nhất và toàn bộ những nghiệm đều khác 0 và khác (**).Lập bảng biến thiên y = -x4 + 4×2 ta có:Do đó (**) 0 < m < 4.Vậy có ba giá trị nguyên là m 1; 2; 3.Dạng 9: Cho đồ thị, định tham số để sở hữu hàm số có n điểm cực trị
Phương pháp
Bước 1. Tìm hàm số đơn thuần và giản dị hơn có cùng số điểm cực trị với hàm số ban đầuBước 2. Dựa vào đồ thị, xác lập số cực trị của hàm số đơn thuần và giản dị ở bước 1.
Bài tập
Bài tập 1: Cho đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số y = f(x). Tìm tập hợp toàn bộ những giá trị thực của tham số m để hàm số y = (|x + 3|) có 5 điểm cực trị.A. B. C. D. Hướng dẫn giảiChọn D.Số điểm cực trị của hàm số y = (|x + 3|) bằng với số điểm cực trị của hàm số g(x) = f (|x| +m).Ta có .Dựa vào đồ thị, ta có g(x) = 0 .(để ý quan tâm rằng hàm số g(x) không còn đạo hàm tại điểm x = 0).Hàm số y = (|x + 3|) có 5 điểm cực trị g(x) = f (|x| +m) có 5 điểm cực trị (*) có 4 nghiệm phân biệt -1 m > 0 m < -1.Bài tập 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm toàn bộ những giá trị của tham số m để hàm số y = |f(x) + m| có nhiều điểm cực trị nhất.A. m (-2; 2)B. m [-2; 2]C. m (-1; 1)D. m [-1; 1]Hướng dẫn giảiChọn A.Đồ thị hàm số y = |f(x) + m| có nhiều điểm cực trị nhất lúc và chỉ khi y = f(x) + m cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất -2 < m < 2.Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.Gọi S là tập hợp những số nguyên dương của m để hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng toàn bộ những thành phần của S làA. 5B. 10C. 6D. 7Hướng dẫn giảiChọn D.Ta có số điểm cực trị của hàm bằng số điểm cực trị của hàm .Xét hàm số .Dựa vào đồ thị ta có số điểm cực trị của hàm g(x) bằng số điểm cực trị của hàm f(x) và bằng 3.Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị thì số giao điểm của g(x) với trục Ox (không kể những điểm tiếp xúc) là 2. .Do m nguyên dương nên m 3; 4.Vậy tổng những giá trị là 7.Bài tập 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ phía dưới. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g(x) = |f 3(x) 3f(x) + m| có đúng 9 điểm cực trị làA. 16B. 17C. 15D. 18Hướng dẫn giảiChọn A.Xét h(x) = f(x) 3 f(x) + m.Suy ra h(x) = 0 3 f(x) [f 2 (x) 1] = 0.Dựa vào đồ thị, ta có f(x) = 0 .f(x) = 1 (đạo hàm đều đổi dấu khi qua cả ba nghiệm đều là nghiệm đơn và khác 2 nghiệm trên).f(x) = -1 (trong số đó x = x4 là nghiệm đơn x = -2 là nghiệm kép).Ta tính những giá trị: h(x1) = h(x2) = h(x3) = m 2.h(x4) = h (-2) = m + 2 và h (0) = m + 18Bảng biến thiên h(x):Suy ra hàm số h(x) luôn có 6 điểm cực trị.Đồ thị hàm số g(x) = |f 3(x) 3f(x) + m| có đúng 9 điểm cực trị tương tự đồ thị y = h(x) cắt trục hoành t
ại đúng 3 điểm (không kể những điểm tiếp xúc) m + 2 0 < 18 + m -18 < m -2.Vậy m -17; -16; ; -2 hay có 16 giá trị nguyên của m.Tài liệu tìm m để hàm số có cực trịtin tức tài liệuTên tài liệuBài tập cực trị hàm số Vận Dụng, Vận Dụng CaoSố trang115Lời giảiCóMục lục tài liệuDạng 1: Tìm cực trị của hàm sốDạng 2: Cực trị hàm bậc ba, hàm trùng phươngDạng 3: Cực trị những hàm số khác
Review Cách tìm hai điểm cực trị ?
Bạn vừa Read tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Cách tìm hai điểm cực trị tiên tiến và phát triển nhất
Chia Sẻ Link Download Cách tìm hai điểm cực trị miễn phí
Quý khách đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Cập nhật Cách tìm hai điểm cực trị miễn phí.
Hỏi đáp vướng mắc về Cách tìm hai điểm cực trị
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Cách tìm hai điểm cực trị vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha
#Cách #tìm #hai #điểm #cực #trị
