Contents
Kinh Nghiệm về Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm Mới Nhất
Bạn đang tìm kiếm từ khóa Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm được Cập Nhật vào lúc : 2022-02-13 08:17:39 . Với phương châm chia sẻ Mẹo về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.
Bài viết hướng dẫn phương phápchứng minh phương trình có nghiệm bằng phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số. Kiến thức và những ví dụ minh học có trong nội dung bài viết được tìm hiểu thêm từ những tài liệu chuyên đề số lượng giới hạn đăng tải trên TOANMATH.
Phương pháp:
Đểchứng minh phương trình có nghiệm bằng phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực thi theo tiến trình sau:
+Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng$fleft( x right) = 0.$
+Bước 2: Tìm hai số $a$ và $b$ $(a<b)$ sao cho$fleft( a right).fleft( b right) < 0.$
+Bước 3: Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn$left[ a;b right].$
Từ đó suy ra phương trình $fleft( x right) = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc$left( a;b right).$
Chú ý:
+Nếu $fleft( a right).fleft( b right) le 0$thì phương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc$left[ a;b right].$
+Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên$left[ a; + infty right)$và có$fleft( a right).mathop lim limits_x to + infty fleft( x right) < 0$thì phương trình$fleft( x right) = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc$left( a; + infty right).$
+Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên$left( infty ;a right]$và có$fleft( a right).mathop lim limits_x to infty fleft( x right) < 0$thì phương trình$fleft( x right) = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc$left( infty ;a right).$
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình$4x^3 8x^2 + 1 = 0$có nghiệm trong mức chừng$left( 1;2 right).$
Hàm số$fleft( x right) = 4x^3 8x^2 + 1$liên tục trên $R.$
Ta có:$fleft( 1 right) = 11$,$fleft( 2 right) = 1$nên$fleft( 1 right).fleft( 2 right) < 0.$
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng$left( 1;2 right).$
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình$4x^4 + 2x^2 x 3 = 0$có tối thiểu $2$ nghiệm thuộc khoảng chừng$left( 1;1 right).$
Đặt$fleft( x right) = 4x^4 + 2x^2 x 3$thì$fleft( x right)$liên tục trên $R.$
Ta có:
$fleft( 1 right) = 4 + 2 + 1 3 = 4.$
$fleft( 0 right) = 3.$
$fleft( 1 right) = 2.$
Vì $fleft( 1 right).fleft( 0 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng$left( 1;0 right).$
Vì$fleft( 1 right).fleft( 0 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng$left( 0;1 right).$
Mà hai khoảng chừng $left( 1;0 right)$,$left( 0;1 right)$không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có tối thiểu $2$ nghiệmthuộc khoảng chừng$left( 1;1 right).$
Ví dụ 3: Chứng minh phương trình$x^5 5x^3 + 4x 1 = 0$có đúng năm nghiệm.
Đặt$fleft( x right) = x^5 5x^3 + 4x 1$thì$fleft( x right)$liên tục trên $R.$
Ta có $fleft( x right) = xleft( x^4 5x^2 + 4 right) 1$$ = left( x 2 right)left( x 1 right)xleft( x + 1 right)left( x + 2 right) 1.$
$fleft( 2 right) = 1.$
$fleft( frac32 right) = frac10532 1 > 0.$
$fleft( 1 right) = 1 < 0.$
$fleft( frac12 right) = frac4532 1 > 0.$
$fleft( 1 right) = 1 < 0.$
$fleft( 3 right) = 120 1 = 119 > 0.$
Vì $fleft( 2 right).fleft( frac32 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng $left( 2; frac32 right).$
Vì $fleft( frac32 right).fleft( 1 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng $left( frac32; 1 right).$
Vì$fleft( 1 right).fleft( frac12 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng $left( 1;frac12 right).$
Vì$fleft( frac12 right).fleft( 1 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng $left( frac12;1 right).$
Vì $fleft( 1 right).fleft( 3 right) < 0$nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng $left( 1;3 right).$
Do những khoảng chừng $left( 2; frac32 right)$,$left( frac32; 1 right)$,$left( 1;frac12 right)$,$left( frac12;1 right)$,$left( 1;3 right)$không giao nhau nên phương trình có tối thiểu $5$ nghiệm.
Mà phương trình bậc $5$ có không thật $5$ nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng $5$ nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu$2a + 3b + 6c = 0$thì phương trình$atan ^2x + btan x + c = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng$left( kpi ;fracpi 4 + kpi right)$,$k in Z.$
Đặt$t = tan x$,vì$x in left( kpi ;fracpi 4 + kpi right)$nên$t in left( 0;1 right)$,phương trình đã cho trở thành:$at^2 + bt + c = 0$$left( * right)$với$t in left( 0;1 right).$
Đặt $fleft( t right) = at^2 + bt + c$thì$fleft( t right)$liên tục trên $R.$
Ta sẽ chứng tỏ phương trình $left( * right)$luôn có nghiệm$t in left( 0;1 right).$
Cách 1:
Ta có:$fleft( 0 right).fleft( frac23 right)$$ = fracc9left( 4a + 6b + 9c right)$$ = fracc9left[ 2left( 2a + 3b + 6c right) 3c right]$$ = fracc^23.$
+Nếu$c = 0$ thì$fleft( frac23 right) = 0$do đó phương trình$left( * right)$có nghiệm$t = frac23 in left( 0;1 right).$
+Nếu$c ne 0$thì$fleft( 0 right).fleft( frac23 right) < 0$suy ra phương trình$left( * right)$có nghiệm$t in left( 0;frac23pi right)$,do đó phương trình$left( * right)$có nghiệm$t in left( 0;1 right).$
Vậy phương trình $atan ^2x + btan x + c = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng$left( kpi ;fracpi 4 + kpi right)$,$k in Z.$
Cách 2:
Ta có:$fleft( 0 right) + 4fleft( frac12 right) + fleft( 1 right)$$ = c + 4left( frac14a + frac12b + c right)$$ + a + b + c$$ = 2a + 3b + 6c = 0$$left( * * right).$
+ Nếu$a = 0$,từ giả thiết suy ra$3b + 6c = 0$,do đó phương trình$left( * right)$có nghiệm$t = frac12 in left( 0;1 right).$
+Nếu$a ne 0$thì$fleft( 0 right)$,$fleft( frac12 right)$,$fleft( 1 right)$không thể đồng thời bằng $0$ (vì phương trình bậc hai không còn quá hai nghiệm).
Khi đó, từ $left( * * right)$suy ra trong ba số$fleft( 0 right)$,$fleft( frac12 right)$,$fleft( 1 right)$phải có hai giá trị trái dấu nhau (Vì nếu cả ba giá trị đó cùng âm hoặc cùng dương thì tổng của chúng không thể bằng $0$).
Mà hai giá trị nào trong chúng trái dấu thì theo tính chất hàm liên tục ta đều suy ra phương trình $left( * right)$có tối thiểu một nghiệm$t in left( 0;1 right).$
Vậy phương trình $atan ^2x + btan x + c = 0$có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng$left( kpi ;fracpi 4 + kpi right)$,$k in Z.$
Ví dụ 5: Cho hàm số$y = f(x) = x^3 frac32m^2x^2 + 32$(với $m$ là tham số). Chứng minh rằng với$m 2$thì phương trình $f(x)=0$có đúng ba nghiệm phân biệt $x_1$,$x_2$,$x_3$và thỏa Đk$x_1 < 0 < x_2 < x_3.$
Ta có:$f(0) = 32$,$fleft( m^2 right) = frac12left( 64 m^6 right)$, khi$m 2$thì$frac12left( 64 m^6 right) 0.$
Mà:
$mathop lim limits_x to infty fleft( x right)$$ = mathop lim limits_x to infty left( x^3 frac32m^2x^2 + 32 right) = infty $$ Rightarrow exists alpha < 0$ sao cho$fleft( alpha right) < 0.$
$mathop lim limits_x to + infty fleft( x right)$$ = mathop lim limits_x to + infty left( x^3 frac32m^2x^2 + 32 right) = + infty $$ Rightarrow exists beta > m^2$ sao cho$fleft( beta right) > 0.$
Do đó ta có $left{ beginarrayl
fleft( alpha right).fleft( 0 right) < 0\
fleft( 0 right).fleft( m^2 right) < 0\
fleft( m^2 right).fleft( beta right) < 0
endarray right. .$Vì hàm số $f(x)$ xác lập và liên tục trên $R$ nên liên tục trên những đoạn$left[ alpha ;0 right]$,$left[ 0;m^2 right]$,$left[ m^2;beta right]$nên phương trình $f(x)=0$có tối thiểu ba nghiệm lần lượt thuộc những khoảng chừng$left( alpha ;0 right)$,$left( 0;m^2 right)$,$left( m^2;beta right).$Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên nhiều nhất chỉ có ba nghiệm.
Vậyvới$m 2$thì phương trình $f(x)=x^3 frac32m^2x^2 + 32=0$có đúng ba nghiệm phân biệt $x_1$,$x_2$,$x_3$ thỏa mãn nhu cầu Đk$x_1 < 0 < x_2 < x_3.$
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình$left( m^2 m + 3 right)x^2n 2x 4 = 0$ với$n in N^*$luôn có tối thiểu một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Đặt$fleft( x right) = left( m^2 m + 3 right)x^2n 2x 4.$
Ta có:
$fleft( 2 right)$$ = left( m^2 m + 3 right)left( 2 right)^2n 2left( 2 right) 4$$ = left( m^2 m + 3 right)2^2n > 0$,$forall m in R.$
$fleft( 0 right) = 4 < 0$,$forall m in R.$
Từ đó có:$fleft( 2 right).fleft( 0 right) < 0$,$forall m in R.$
Ngoài rahàm số $f(x)$ xác lập và liên tục trên $R$ nên hàm số liên tục trên đoạn$left[ 2;0 right].$
Vậyphương trình$f(x) = 0$luôn có tối thiểu một nghiệm âm với mọi giá trị tham số $m.$
://.youtube/watch?v=WKVwA-Bnk_8
Reply
5
0
Chia sẻ
Review Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm ?
Bạn vừa Read tài liệu Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Clip Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm tiên tiến và phát triển nhất
Bạn đang tìm một số trong những Share Link Down Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm Free.
Hỏi đáp vướng mắc về Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm
Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Cách Chứng minh phương trình có đúng 1 nghiệm vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha
#Cách #Chứng #minh #phương #trình #có #đúng #nghiệm